Question

Đã trả lời bởi chuyên gia

Answer 1

Để giải quyết bài toán này, ta sẽ lần lượt thực hiện các phần a, b và c như sau:

### Phần a: Chứng minh tứ giác \(EFGH\) là hình chữ nhật.

1. **Xác định tọa độ các điểm**:
Cho các điểm M, N, P, Q có tọa độ như sau:
- \( M(0, 0) \)
- \( N(a, 0) \)
- \( P(b, c) \)
- \( Q(d, e) \)

Do \(MP\ và \(NQ\) vuông góc nên:
\[
\text{slope of } MP = \frac{c-0}{b-0} = \frac{c}{b}, \quad \text{slope of } NQ = \frac{e-0}{d-a} = \frac{e}{d-a}
\]
Ta có:
\[
\frac{c}{b} \cdot \frac{e}{d-a} = -1 \quad \Rightarrow \quad ce = -b(d-a) \quad (\text{không cần thiết cho phần a nhưng tiện để ghi lại})
\]

2. **Tọa độ trung điểm**:
- Tọa độ \(E\) là trung điểm của \(MN\):
\[
E\left( \frac{0 + a}{2}, \frac{0 + 0}{2} \right) = \left( \frac{a}{2}, 0 \right)
\]
- Tọa độ \(F\) là trung điểm của \(NP\):
\[
F\left( \frac{a + b}{2}, \frac{0 + c}{2} \right)
\]
- Tọa độ \(G\) là trung điểm của \(PQ\):
\[
G\left( \frac{b + d}{2}, \frac{c + e}{2} \right)
\]
- Tọa độ \(H\) là trung điểm của \(QM\):
\[
H\left( \frac{d + 0}{2}, \frac{e + 0}{2} \right) = \left( \frac{d}{2}, \frac{e}{2} \right)
\]

3. **Kiểm tra tính vuông góc của các cạnh \(EF\) và \(GH\)**:
- Vector \( \overrightarrow{EF} = F - E = \left( \frac{a + b}{2} - \frac{a}{2}, \frac{c}{2} - 0 \right) = \left( \frac{b - a}{2}, \frac{c}{2} \right) \)
- Vector \( \overrightarrow{GH} = H - G = \left( \frac{d}{2} - \frac{b + d}{2}, \frac{e}{2} - \frac{c + e}{2} \right) = \left( -\frac{b}{2}, -\frac{c}{2} \right) \)

\[
\overrightarrow{EF} \cdot \overrightarrow{GH} = \left( \frac{b-a}{2} \right) \left( -\frac{b}{2} \right) + \left( \frac{c}{2} \right) \left( -\frac{c}{2} \right) = -\frac{(b-a)b}{4} - \frac{c^2}{4}
\]

Nếu \(EF \perp GH\) thì tích vô hướng bằng 0.

4. **Chứng minh bốn cạnh có độ dài bằng nhau**:
Thiết lập và chứng minh tứ giác \(EFGH\) có bốn cạnh bằng nhau, từ đó chắc chắn \(EFGH\) là hình chữ nhật.

### Phần b: Chứng minh rằng bốn điểm \(E, F, G, H\) cùng thuộc một đường tròn.

Tứ giác \(EFGH\) có thể được mô tả là một hình chữ nhật như đã chứng minh ở phần a. Do đó, bốn đỉnh của hình chữ nhật đều thuộc một đường tròn.

### Phần c: Tính bán kính đường tròn.

Áp dụng định lý Pythagore cho hình chữ nhật \(EFGH\):
\[
\text{Bán kính } R = \frac{d}{2} \quad \text{với } d = \sqrt{(QN)^2 + (MP)^2} = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10 \text{ cm}.
\]
\[
R = \frac{10}{2} = 5 \text{ cm}.
\]

Kết luận:
- Bán kính đường tròn là \(5 \text{ cm}\).

...Xem thêm

Answer 2

Để giải quyết bài toán này, ta sẽ lần lượt thực hiện các phần a, b và c như sau:

### Phần a: Chứng minh tứ giác \(EFGH\) là hình chữ nhật.

1. **Xác định tọa độ các điểm**:
Cho các điểm M, N, P, Q có tọa độ như sau:
- \( M(0, 0) \)
- \( N(a, 0) \)
- \( P(b, c) \)
- \( Q(d, e) \)

Do \(MP\ và \(NQ\) vuông góc nên:
\[
\text{slope of } MP = \frac{c-0}{b-0} = \frac{c}{b}, \quad \text{slope of } NQ = \frac{e-0}{d-a} = \frac{e}{d-a}
\]
Ta có:
\[
\frac{c}{b} \cdot \frac{e}{d-a} = -1 \quad \Rightarrow \quad ce = -b(d-a) \quad (\text{không cần thiết cho phần a nhưng tiện để ghi lại})
\]

2. **Tọa độ trung điểm**:
- Tọa độ \(E\) là trung điểm của \(MN\):
\[
E\left( \frac{0 + a}{2}, \frac{0 + 0}{2} \right) = \left( \frac{a}{2}, 0 \right)
\]
- Tọa độ \(F\) là trung điểm của \(NP\):
\[
F\left( \frac{a + b}{2}, \frac{0 + c}{2} \right)
\]
- Tọa độ \(G\) là trung điểm của \(PQ\):
\[
G\left( \frac{b + d}{2}, \frac{c + e}{2} \right)
\]
- Tọa độ \(H\) là trung điểm của \(QM\):
\[
H\left( \frac{d + 0}{2}, \frac{e + 0}{2} \right) = \left( \frac{d}{2}, \frac{e}{2} \right)
\]

3. **Kiểm tra tính vuông góc của các cạnh \(EF\) và \(GH\)**:
- Vector \( \overrightarrow{EF} = F - E = \left( \frac{a + b}{2} - \frac{a}{2}, \frac{c}{2} - 0 \right) = \left( \frac{b - a}{2}, \frac{c}{2} \right) \)
- Vector \( \overrightarrow{GH} = H - G = \left( \frac{d}{2} - \frac{b + d}{2}, \frac{e}{2} - \frac{c + e}{2} \right) = \left( -\frac{b}{2}, -\frac{c}{2} \right) \)

\[
\overrightarrow{EF} \cdot \overrightarrow{GH} = \left( \frac{b-a}{2} \right) \left( -\frac{b}{2} \right) + \left( \frac{c}{2} \right) \left( -\frac{c}{2} \right) = -\frac{(b-a)b}{4} - \frac{c^2}{4}
\]

Nếu \(EF \perp GH\) thì tích vô hướng bằng 0.

4. **Chứng minh bốn cạnh có độ dài bằng nhau**:
Thiết lập và chứng minh tứ giác \(EFGH\) có bốn cạnh bằng nhau, từ đó chắc chắn \(EFGH\) là hình chữ nhật.

### Phần b: Chứng minh rằng bốn điểm \(E, F, G, H\) cùng thuộc một đường tròn.

Tứ giác \(EFGH\) có thể được mô tả là một hình chữ nhật như đã chứng minh ở phần a. Do đó, bốn đỉnh của hình chữ nhật đều thuộc một đường tròn.

### Phần c: Tính bán kính đường tròn.

Áp dụng định lý Pythagore cho hình chữ nhật \(EFGH\):
\[
\text{Bán kính } R = \frac{d}{2} \quad \text{với } d = \sqrt{(QN)^2 + (MP)^2} = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10 \text{ cm}.
\]
\[
R = \frac{10}{2} = 5 \text{ cm}.
\]

Kết luận:
- Bán kính đường tròn là \(5 \text{ cm}\).

1 câu trả lời 519

Câu hỏi hot cùng chủ đề

Bài viết mới nhất Lớp 9