Để giải bài toán này, ta sẽ thực hiện các bước sau:

### a) Tính tan của góc BOA và số đo của góc BOA

1. **Tính tan của góc BOA**:

Ta biết rằng đoạn \( OA \) là 5 cm và đoạn \( OB \) là 3 cm (bán kính của đường tròn). Do \( AB \) là tiếp tuyến của đường tròn tại điểm \( B \), ta có tam giác vuông \( OAB \).

- Trong tam giác vuông \( OAB \):
\[
AB^2 + OB^2 = OA^2
\]
Gọi \( AB = x \) (độ dài của tiếp tuyến). Ta có:
\[
x^2 + 3^2 = 5^2
\]
\[
x^2 + 9 = 25 \Rightarrow x^2 = 16 \Rightarrow x = 4 \text{ cm}
\]

- Đến đây, ta có độ dài các cạnh:
- \( OA = 5 \) cm
- \( OB = 3 \) cm
- \( AB = 4 \) cm

- Tính tan của góc \( BOA \):
\[
\tan(BOA) = \frac{AB}{OB} = \frac{4}{3}
\]

2. **Tính số đo của góc BOA**:

Sử dụng công thức để tính số đo của góc từ giá trị tang:
\[
\theta = \tan^{-1}\left(\frac{4}{3}\right)
\]

Tính toán:
\[
\theta \approx 53.13^\circ
\]

### b) Vẽ BH vuông góc với OA tại H. Tính OH và BH

1. **Tính OH**:

Ta đã có \( OA = 5 \) cm và \( OB = 3 \) cm, và \( AB = 4 \) cm.

- Để tìm \( OH \), ta có tam giác vuông \( OAB \):
\[
OH = OA - AH
\]
Trong đó \( AH \) là khoảng cách từ điểm \( A \) đến đường tròn. Vì \( H \) là chân đường vuông góc từ \( B \) đến \( OA \):
\[
AH = AB = 4 \text{ cm}
\]

Vậy \( OH \):
\[
OH = OA - AB = 5 - 4 = 1 \text{ cm}
\]

2. **Tính BH**:

Trong tam giác vuông \( OAB \):
\[
BH = OB \cdot \sin(BOA)
\]
Để tính \( BH \), ta sử dụng định lý Pythagore:
\[
BH = \sqrt{OB^2 - OH^2}
\]
Với \( OB = 3 \) cm và \( OH = 1 \) cm:
\[
BH = \sqrt{3^2 - 1^2} = \sqrt{9 - 1} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2} \text{ cm}
\]

### c) Gọi C là điểm đối xứng của B qua H. Chứng minh AC là tiếp tuyến của (O)

1. **Xác định vị trí điểm C**:

- Vì \( C \) là điểm đối xứng của \( B \) qua \( H \), nên khoảng cách \( BH = HC \) và \( H \) nằm giữa \( B \) và \( C \).

2. **Chứng minh \( AC \) là tiếp tuyến của (O)**:

- Để chứng minh \( AC \) là tiếp tuyến, ta cần chứng minh \( OA \) vuông góc với \( OC \).
- Khi đó, ta đã biết \( OH \) vuông góc với \( OA \).
- Vì \( B \) và \( C \) đối xứng qua \( H \), và \( O \) nằm trên đường tròn, nên \( OB \perp AB \) và \( OC \perp AC \).

Do đó, \( AC \) cũng sẽ vuông góc với \( OA \), chứng minh rằng \( AC \) là tiếp tuyến của đường tròn tại điểm \( C \).

### Kết luận

- a) \(\tan(BOA) = \frac{4}{3}\) và số đo của góc \( BOA \approx 53.13^\circ\).
- b) \( OH = 1 \text{ cm} \) và \( BH = 2\sqrt{2} \text{ cm} \).
- c) \( AC \) là tiếp tuyến của đường tròn \( O \).

Nếu cần thêm thông tin hoặc có phần nào chưa rõ, hãy cho mình biết nhé!

Để giải bài toán này, ta sẽ thực hiện các bước sau:

### a) Tính tan của góc BOA và số đo của góc BOA

1. **Tính tan của góc BOA**:

Ta biết rằng đoạn OAOA là 5 cm và đoạn OBOB là 3 cm (bán kính của đường tròn). Do ABAB là tiếp tuyến của đường tròn tại điểm BB, ta có tam giác vuông OABOAB.

- Trong tam giác vuông OABOAB:
AB2+OB2=OA2AB2+OB2=OA2
Gọi AB=xAB=x (độ dài của tiếp tuyến). Ta có:
x2+32=52x2+32=52
x2+9=25⇒x2=16⇒x=4 cmx2+9=25⇒x2=16⇒x=4 cm

- Đến đây, ta có độ dài các cạnh:
- OA=5OA=5 cm
- OB=3OB=3 cm
- AB=4AB=4 cm

- Tính tan của góc BOABOA:
tan(BOA)=ABOB=43tan⁡(BOA)=ABOB=43

2. **Tính số đo của góc BOA**:

Sử dụng công thức để tính số đo của góc từ giá trị tang:
θ=tan−1(43)θ=tan−1⁡(43)

Tính toán:
θ≈53.13∘θ≈53.13∘

### b) Vẽ BH vuông góc với OA tại H. Tính OH và BH

1. **Tính OH**:

Ta đã có OA=5OA=5 cm và OB=3OB=3 cm, và AB=4AB=4 cm.

- Để tìm OHOH, ta có tam giác vuông OABOAB:
OH=OA−AHOH=OA−AH
Trong đó AHAH là khoảng cách từ điểm AA đến đường tròn. Vì HH là chân đường vuông góc từ BB đến OAOA:
AH=AB=4 cmAH=AB=4 cm

Vậy OHOH:
OH=OA−AB=5−4=1 cmOH=OA−AB=5−4=1 cm

2. **Tính BH**:

Trong tam giác vuông OABOAB:
BH=OB⋅sin(BOA)BH=OB⋅sin⁡(BOA)
Để tính BHBH, ta sử dụng định lý Pythagore:
BH=√OB2−OH2BH=OB2−OH2
Với OB=3OB=3 cm và OH=1OH=1 cm:
BH=√32−12=√9−1=√8=2√2 cmBH=32−12=9−1=8=22 cm

### c) Gọi C là điểm đối xứng của B qua H. Chứng minh AC là tiếp tuyến của (O)

1. **Xác định vị trí điểm C**:

- Vì CC là điểm đối xứng của BB qua HH, nên khoảng cách BH=HCBH=HC và HH nằm giữa BB và CC.

2. **Chứng minh ACAC là tiếp tuyến của (O)**:

- Để chứng minh ACAC là tiếp tuyến, ta cần chứng minh OAOA vuông góc với OCOC.
- Khi đó, ta đã biết OHOH vuông góc với OAOA.
- Vì BB và CC đối xứng qua HH, và OO nằm trên đường tròn, nên OB⊥ABOB⊥AB và OC⊥ACOC⊥AC.

Do đó, ACAC cũng sẽ vuông góc với OAOA, chứng minh rằng ACAC là tiếp tuyến của đường tròn tại điểm CC.

### Kết luận

- a) tan(BOA)=43tan⁡(BOA)=43 và số đo của góc BOA≈53.13∘BOA≈53.13∘.
- b) OH=1 cmOH=1 cm và BH=2√2 cmBH=22 cm.
- c) ACAC là tiếp tuyến của đường tròn OO.