tìm tất cả các số nguyên tố p và hai số nguyên dương a,b sao cho pa+pb là số chí

Nguyễn Đăng Khoa Lê

đã hỏi trong Lớp 9 Toán học

· 10:46 13/10/2024

tìm tất cả các số nguyên tố p và hai số nguyên dương a,b sao cho p^a+p^b là số chính phương

Trả Lời (+5 điểm)

Hỏi chi tiết

Quảng cáo

1 câu trả lời 395

Sang Phạm

1 năm trước

Để tìm tất cả các số nguyên tố \( p \) và hai số nguyên dương \( a, b \) sao cho \( p^a + p^b \) là số chính phương, ta bắt đầu với một số phân tích.

Giả sử không mất tính tổng quát, ta đặt \( a \geq b \). Khi đó, ta có:

\[
p^a + p^b = p^b (p^{a-b} + 1)
\]

Để \( p^a + p^b \) là số chính phương, cả hai yếu tố \( p^b \) và \( p^{a-b} + 1 \) cũng cần thỏa mãn một số điều kiện.

1. **\( p^b \)** là một số chính phương: Đương nhiên, vì \( p \) là số nguyên tố, nên \( p^b \) chính là một số chính phương.

2. **\( p^{a-b} + 1 \)** phải là một số chính phương: Gọi \( p^{a-b} + 1 = k^2 \) cho một số nguyên \( k \). Từ đó, ta có:

\[
p^{a-b} = k^2 - 1 = (k-1)(k+1)
\]

Ta thấy \( (k-1)(k+1) \) là tích của hai số liên tiếp, và do đó chỉ có thể là một lũy thừa của \( p \) trong một số trường hợp nhất định.

### Các trường hợp

#### Trường hợp \( a = b \)

Khi \( a = b \), ta có:

\[
p^a + p^b = 2p^a
\]

Để \( 2p^a \) là số chính phương, điều này chỉ có thể xảy ra nếu \( 2 \) là một chính phương, điều này không khả thi vì \( 2 \) không phải là một số chính phương.

#### Trường hợp \( a > b \)

Với \( p^{a-b} = (k-1)(k+1) \), ta phải xem xét các giá trị của \( p \):

1. **Khi \( p = 2 \)**:

\[
2^{a-b} + 1 = k^2
\]

Ta cần tìm các giá trị nguyên dương cho \( a \) và \( b \). Xét phương trình:

\[
2^n + 1 = k^2
\]

Nó chỉ đúng khi \( n = 1 \) (vì \( 2^1 + 1 = 3 \) không phải là chính phương). Khi \( n = 2 \), \( 2^2 + 1 = 5 \) cũng không phải là chính phương. Tuy nhiên, khi \( n = 3 \), ta có \( 2^3 + 1 = 9 = 3^2 \).

Như vậy, với \( p = 2 \), \( a - b = 3 \) và \( b = 1 \), ta có \( a = 4 \).

2. **Khi \( p \) là số nguyên tố lẻ**:

Giả sử \( p \) là số nguyên tố lẻ. Ta nhận thấy rằng \( p^{a-b} \) là một số lẻ. Vì \( (k-1)(k+1) \) là tích của hai số liên tiếp, trong đó một số là số chẵn và một số là số lẻ. Điều này không thể xảy ra nếu cả \( k-1 \) và \( k+1 \) đều là lũy thừa của một số lẻ.

### Kết luận

Qua phân tích trên, ta thấy rằng chỉ có trường hợp duy nhất thỏa mãn điều kiện là:

- \( p = 2, a = 4, b = 1 \) (hoặc ngược lại).

Do đó, các số nguyên tố \( p \) và các số nguyên dương \( a, b \) thỏa mãn điều kiện là:

\[
(p, a, b) = (2, 4, 1) \text{ hoặc } (2, 1, 4).
\]

...Xem thêm

0 bình luận

Đăng nhập để hỏi chi tiết

Quảng cáo

Bạn muốn hỏi bài tập?