Để giải phương trình \( x^2 - 2(m-3)x + m^2 - 1 = 0 \), ta thực hiện các bước sau:

### a. Giải phương trình tại \( m = 0 \)

Thay \( m = 0 \) vào phương trình:

\[
x^2 - 2(0-3)x + 0^2 - 1 = 0
\]

Điều này trở thành:

\[
x^2 + 6x - 1 = 0
\]

Áp dụng công thức nghiệm:

\[
x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = \frac{-6 \pm \sqrt{6^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-1)}}{2 \cdot 1}
\]

Tính toán:

\[
= \frac{-6 \pm \sqrt{36 + 4}}{2} = \frac{-6 \pm \sqrt{40}}{2} = \frac{-6 \pm 2\sqrt{10}}{2} = -3 \pm \sqrt{10}
\]

Vậy nghiệm của phương trình là:

\[
x_1 = -3 + \sqrt{10}, \quad x_2 = -3 - \sqrt{10}
\]

### b. Tìm \( m \) để phương trình có nghiệm kép

Để phương trình có nghiệm kép, delta \( \Delta \) phải bằng 0:

\[
\Delta = b^2 - 4ac = [ -2(m-3) ]^2 - 4 \cdot 1 \cdot (m^2 - 1)
\]

Tính \( \Delta \):

\[
= 4(m-3)^2 - 4(m^2 - 1)
\]

Đặt \( \Delta = 0 \):

\[
4(m-3)^2 - 4(m^2 - 1) = 0
\]

Chia cả hai bên cho 4:

\[
(m-3)^2 - (m^2 - 1) = 0
\]

Mở rộng và giải phương trình:

\[
m^2 - 6m + 9 - m^2 + 1 = 0 \Rightarrow -6m + 10 = 0 \Rightarrow m = \frac{10}{6} = \frac{5}{3}
\]

#### Tìm nghiệm kép

Thay \( m = \frac{5}{3} \) vào phương trình gốc:

\[
x^2 - 2\left(\frac{5}{3} - 3\right)x + \left(\frac{5}{3}\right)^2 - 1 = 0
\]

Tính toán:

\[
= x^2 - 2\left(\frac{5}{3} - \frac{9}{3}\right)x + \frac{25}{9} - 1
\]

\[
= x^2 + \frac{8}{3}x + \frac{25}{9} - \frac{9}{9} = x^2 + \frac{8}{3}x + \frac{16}{9} = 0
\]

Nghiệm kép là:

\[
x = \frac{-b}{2a} = \frac{-\frac{8}{3}}{2} = -\frac{4}{3}
\]

Vậy \( m = \frac{5}{3} \) và nghiệm kép là:

\[
x = -\frac{4}{3}
\]

Để giải phương trình x2−2(m−3)x+m2−1=0x2−2(m−3)x+m2−1=0, ta thực hiện các bước sau:

### a. Giải phương trình tại m=0m=0

Thay m=0m=0 vào phương trình:

x2−2(0−3)x+02−1=0x2−2(0−3)x+02−1=0

Điều này trở thành:

x2+6x−1=0x2+6x−1=0

Áp dụng công thức nghiệm:

x=−b±√b2−4ac2a=−6±√62−4⋅1⋅(−1)2⋅1x=−b±b2−4ac2a=−6±62−4⋅1⋅(−1)2⋅1

Tính toán:

=−6±√36+42=−6±√402=−6±2√102=−3±√10=−6±36+42=−6±402=−6±2102=−3±10

Vậy nghiệm của phương trình là:

x1=−3+√10,x2=−3−√10x1=−3+10,x2=−3−10

### b. Tìm mm để phương trình có nghiệm kép

Để phương trình có nghiệm kép, delta ΔΔ phải bằng 0:

Δ=b2−4ac=[−2(m−3)]2−4⋅1⋅(m2−1)Δ=b2−4ac=[−2(m−3)]2−4⋅1⋅(m2−1)

Tính ΔΔ:

=4(m−3)2−4(m2−1)=4(m−3)2−4(m2−1)

Đặt Δ=0Δ=0:

4(m−3)2−4(m2−1)=04(m−3)2−4(m2−1)=0

Chia cả hai bên cho 4:

(m−3)2−(m2−1)=0(m−3)2−(m2−1)=0

Mở rộng và giải phương trình:

m2−6m+9−m2+1=0⇒−6m+10=0⇒m=106=53m2−6m+9−m2+1=0⇒−6m+10=0⇒m=106=53

#### Tìm nghiệm kép

Thay m=53m=53 vào phương trình gốc:

x2−2(53−3)x+(53)2−1=0x2−2(53−3)x+(53)2−1=0

Tính toán:

=x2−2(53−93)x+259−1=x2−2(53−93)x+259−1

=x2+83x+259−99=x2+83x+169=0=x2+83x+259−99=x2+83x+169=0

Nghiệm kép là:

x=−b2a=−832=−43x=−b2a=−832=−43

Vậy m=53m=53 và nghiệm kép là:

x=−43