Để chứng minh rằng ∆OAM = ∆OCN và từ đó suy ra tứ giác MBND là hình bình hành, ta sẽ thực hiện các bước sau:

1. **Đặc điểm của O**: O là giao điểm của hai đường chéo AC và BD của hình bình hành ABCD. Do tính chất của hình bình hành, các đường chéo của nó cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường chéo, do đó O là trung điểm của AC và đồng thời cũng là trung điểm của BD.

2. **Xét hai tam giác ∆OAM và ∆OCN**:
- Chúng ta sẽ xem xét ba cặp cạnh và góc tương ứng giữa hai tam giác này:
- **Cạnh OA** và **cạnh OC**: Ta thấy rằng O là trung điểm của AC, nên OA = OC.
- **Cạnh OM** và **cạnh ON**: OM và ON là hai đoạn thẳng trên cùng một đường thẳng cắt các cạnh AB và CD. Do đó, chúng có thể không bằng nhau, nhưng chúng có cùng hướng cùng tỷ lệ.
- **Góc ∠AOM và ∠CON**: Cả hai góc này là góc sống của một đường thẳng cắt hai đường thẳng song song (AB và CD). Do đó, ∠AOM = ∠CON.

3. **Kết luận về hai tam giác**:
Từ những điều trên, theo tiêu chuẩn của định lý tam giác đồng dạng (cạnh-cạnh-góc), ta có:
- OA = OC (cạnh)
- ∠AOM = ∠CON (góc)
- OM và ON không đồng dạng nhưng tỉ lệ của chúng tỉ lệ thuận do chúng đến từ hai cạnh song song

Do đó, chúng ta có:
\[
\Delta OAM \cong \Delta OCN
\]

4. **Suy ra tứ giác MBND là hình bình hành**:
- Khi ∆OAM = ∆OCN, điều này có nghĩa là hai tam giác này có diện tích bằng nhau và các cạnh tương ứng đồng dạng (mặc dù điểm N không nằm trên đoạn thẳng AM). Các cặp cạnh MN và AB, CD sẽ song song và bằng nhau bởi các đoạn MB và ND mà xuyên qua điểm O, điều này dẫn tới việc chứng minh rằng tứ giác MBND là hình bình hành.

Do vậy, từ suy luận và các lý lẽ trên, ta có thể khẳng định tứ giác MBND là một hình bình hành do tính chất song song và các cặp cạnh tương ứng bằng nhau.

Để chứng minh rằng ∆OAM = ∆OCN và từ đó suy ra tứ giác MBND là hình bình hành, ta sẽ thực hiện các bước sau:

1. **Đặc điểm của O**: O là giao điểm của hai đường chéo AC và BD của hình bình hành ABCD. Do tính chất của hình bình hành, các đường chéo của nó cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường chéo, do đó O là trung điểm của AC và đồng thời cũng là trung điểm của BD.

2. **Xét hai tam giác ∆OAM và ∆OCN**:
- Chúng ta sẽ xem xét ba cặp cạnh và góc tương ứng giữa hai tam giác này:
- **Cạnh OA** và **cạnh OC**: Ta thấy rằng O là trung điểm của AC, nên OA = OC.
- **Cạnh OM** và **cạnh ON**: OM và ON là hai đoạn thẳng trên cùng một đường thẳng cắt các cạnh AB và CD. Do đó, chúng có thể không bằng nhau, nhưng chúng có cùng hướng cùng tỷ lệ.
- **Góc ∠AOM và ∠CON**: Cả hai góc này là góc sống của một đường thẳng cắt hai đường thẳng song song (AB và CD). Do đó, ∠AOM = ∠CON.

3. **Kết luận về hai tam giác**:
Từ những điều trên, theo tiêu chuẩn của định lý tam giác đồng dạng (cạnh-cạnh-góc), ta có:
- OA = OC (cạnh)
- ∠AOM = ∠CON (góc)
- OM và ON không đồng dạng nhưng tỉ lệ của chúng tỉ lệ thuận do chúng đến từ hai cạnh song song

Do đó, chúng ta có:
ΔOAM≅ΔOCNΔOAM≅ΔOCN

4. **Suy ra tứ giác MBND là hình bình hành**:
- Khi ∆OAM = ∆OCN, điều này có nghĩa là hai tam giác này có diện tích bằng nhau và các cạnh tương ứng đồng dạng (mặc dù điểm N không nằm trên đoạn thẳng AM). Các cặp cạnh MN và AB, CD sẽ song song và bằng nhau bởi các đoạn MB và ND mà xuyên qua điểm O, điều này dẫn tới việc chứng minh rằng tứ giác MBND là hình bình hành.

Do vậy, từ suy luận và các lý lẽ trên, ta có thể khẳng định tứ giác MBND là một hình bình hành do tính chất song song và các cặp cạnh tương ứng bằng nhau.