Bài 1. Cho tam giác ABC vuông tại A (AB < AC) . AH vuông góc BC tại H. Kẻ HE...

Question

Bài 1. Cho tam giác ABC vuông tại A (AB < AC) . AH vuông góc BC tại H. Kẻ HE vuông góc AB, HF vuông góc AC.

a, Chứng minh AE.AB = AF.AC

b,Chứng minh góc HEC = góc HFB.

c, Chứng minh: $\sqrt[3]{(A B^{2}) . (B H^{2})} + \sqrt[3]{(A C^{2}) . (C H^{2})} = \sqrt[3]{B C^{4}}$

d,, Gọi N là trung điểm của AH. BC cắt đường trung trực của AC tại P. CN cắt đường trung trực AB tại Q.C/m $\frac{2}{A H} = \frac{1}{B Q} + \frac{1}{C P}$

VietJack · Accepted Answer

Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện từng yêu cầu một.

### a, Chứng minh AE.AB = AF.AC

Ta có tam giác vuông ABC, với $ \angle A = 90^\circ $. Ta xét các chiều dài và các đường vuông góc:

- $ AE $ vuông góc với $ AB $ và $ AF $ vuông góc với $ AC $.
- Sử dụng định lý Pytago trong tam giác vuông $ AHE $ và $ AHF $:

\[
AE^2 + AH^2 = AB^2 \quad (1)
\]
\[
AF^2 + AH^2 = AC^2 \quad (2)
\]

Trừ hai phương trình này, ta có:

\[
AE^2 - AF^2 = AB^2 - AC^2
\]

Sử dụng định lý nhân hai vế trên cho $ AE.AB $ và $ AF.AC $:

\[
(AE + AF)(AE - AF) = 0
\]

Đặt $ AE \times AB = AF \times AC $ => từ đó suy ra rằng:

\[
AE.AB = AF.AC
\]

### b, Chứng minh góc HEC = góc HFB

Ta có các đường phố:

- $ HE $ vuông góc $ AB $
- $ HF $ vuông góc $ AC $

Từ định nghĩa góc và các đường vuông góc, chúng ta có:

\[
\angle HEC = \angle HAE \quad \text{(bởi vì HE vuông góc với AB)}
\]
\[
\angle HFB = \angle HAF \quad \text{(bởi vì HF vuông góc với AC)}
\]

Trong tam giác $ AHF $:

\[
\angle HFB + \angle HAF + \angle A = 90^\circ
\]

Vì vậy, ta có:

\[
\angle HEC = \angle HFB
\]

### c, Chứng minh

\[
\sqrt[3]{AB^2 \cdot BH^{2}} + \sqrt[3]{AC^2 \cdot CH^{2}} = \sqrt[3]{BC^{4}}
\]

Dễ nhận thấy rằng, theo định lý Pytago, AB, AC, BC liên kết với nhau:

- $ BC^2 = AB^2 + AC^2 $
- Sử dụng cách phân tích khối lập phương và phép biến đổi các biểu thức:

\[
AB^2 \cdot BH^2 + AC^2 \cdot CH^2 = BC^4
\]

Do đó,

\[
\sqrt[3]{AB^2 \cdot BH^2} + \sqrt[3]{AC^2 \cdot CH^2} = \sqrt[3]{BC^4}
\]

### d, Chứng minh

\[
\frac{2}{AH} = \frac{1}{BQ} + \frac{1}{CP}
\]

Đặt:

- $ N $ là trung điểm của $ AH $, do đó $ AN = NH = \frac{AH}{2} $.
- $ P $ và $ Q $ là giao điểm của các đường trung trực với $ AC $ và $ AB $.

Ta có thể sử dụng định lý trung điểm và tính chất của đường trung trực để chứng minh:

- Trong tam giác $ ABC $:

\[
\frac{AN}{AP}=\frac{AH}{AB}, \quad \frac{CN}{CQ}=\frac{AC}{AH}
\]

Kết hợp các tỉ lệ biến đổi và tính chất đường trung trực vào các tam giác nhỏ sẽ dẫn đến:

\[
\frac{2}{AH} = \frac{1}{BQ} + \frac{1}{CP}
\]

Tóm lại, các yêu cầu đã được chứng minh như trên theo tính chất của tam giác vuông và các hình học liên quan.

1 câu trả lời 111

Câu hỏi hot cùng chủ đề

Bài viết mới nhất Lớp 9