Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ làm từng phần một.

### a. Chứng minh CM ⊥ DN

1. **Đặt tọa độ**:
- Gọi A(0, 4), B(4, 4), C(4, 0), D(0, 0 (theo cách thiết lập trục tọa độ).
- M là trung điểm của AB: \(M\left(\frac{0 + 4}{2}, \frac{4 + 4}{2}\right) = M(2, 4)\).
- N là trung điểm của BC: \(N\left(\frac{4 + 4}{2}, \frac{4 + 0}{2}\right) = N(4, 2)\).

2. **Tính phương trình của CM**:
- Điểm C(4, 0) và điểm M(2, 4):
\[
\text{slope of CM} = \frac{4 - 0}{2 - 4} = \frac{4}{-2} = -2
\]
- Phương trình đường thẳng CM sẽ là \(y - 0 = -2(x - 4) \Rightarrow y = -2x + 8\).

3. **Tính phương trình của DN**:
- Điểm D(0, 0) và điểm N(4, 2):
\[
\text{slope of DN} = \frac{2 - 0}{4 - 0} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}
\]
- Phương trình đường thẳng DN sẽ là \(y - 0 = \frac{1}{2}(x - 0) \Rightarrow y = \frac{1}{2}x\).

4. **Chứng minh CM ⊥ DN**:
- Hai đường thẳng vuông góc nếu tích của hệ số nghiêng của chúng bằng -1:
\[
-2 \cdot \frac{1}{2} = -1
\]
- Kết quả này chứng minh rằng CM ⊥ DN.

### b. Tính các tỉ số lượng giác của góc CMN

1. **Tính độ dốc (slope) của MN**:
- Điểm M(2, 4) và điểm N(4, 2):
\[
\text{slope of MN} = \frac{2 - 4}{4 - 2} = \frac{-2}{2} = -1
\]

2. **Tính góc CMN**:
- Độ dốc của CM là -2.
- Đối với góc CMN, ta có:
\[
\tan(CMN) = \frac{\text{slope of MN} - \text{slope of CM}}{1 + (\text{slope of MN})(\text{slope of CM})} = \frac{-1 - (-2)}{1 + (-1)(-2)} = \frac{1}{3}
\]
- Do đó, từ \(\tan(CMN) = \frac{1}{3}\), ta có:
- \(\sin(CMN) = \frac{1}{\sqrt{1^2 + 3^2}} = \frac{1}{\sqrt{10}}\)
- \(\cos(CMN) = \frac{3}{\sqrt{10}}\)

### c. Tính các tỉ số lượng giác của góc MDN và diện tích tam giác MBN

1. **Tính độ dốc của MD**:
- Điểm M(2, 4) và D(0, 0):
\[
\text{slope of MD} = \frac{4 - 0}{2 - 0} = 2
\]

2. **Tính góc MDN**:
- Slope của DN là \(\frac{1}{2}\).
- \(\tan(MDN) = \frac{\text{slope of DN} - \text{slope of MD}}{1 + (\text{slope of DN})(\text{slope of MD})} = \frac{\frac{1}{2} - 2}{1 + \frac{1}{2} \cdot 2} = \frac{\frac{1}{2} - \frac{4}{2}}{1 + 1} = \frac{-\frac{3}{2}}{2} = -\frac{3}{4}\)

Giả sử góc MDN là θ, ta có:
\[
\tan(MDN) = -\frac{3}{4}
\]
- \(\sin(MDN) = \frac{-3}{\sqrt{25}} = \frac{-3}{5}\)
- \(\cos(MDN) = \frac{4}{\sqrt{25}} = \frac{4}{5}\)

3. **Diện tích tam giác MBN**:
- Diện tích tam giác \( = \frac{1}{2} \times \text{đáy} \times \text{chiều cao} \)
- Đáy MN: độ dài = \(\sqrt{(4-2)^2 + (2-4)^2} = \sqrt{2^2 + (-2)^2} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}\)
- Chiều cao MB hoặc MB là đoạn vuông góc từ B đến MN:
- Thay vào công thức hoặc sử dụng công thức xác định diện tích tam giác dựa trên từ tọa độ M(2,4), B(4,4), N(4,2).

Diện tích tam giác MBN:
\[
= \frac{1}{2} \times \text{đáy} \times \text{chiều cao} = \frac{1}{2} \times 2\sqrt{2} \times 2 = 2\sqrt{2}
\]

Hy vọng rằng các bước trên giúp bạn hiểu rõ hơn về bài toán. Nếu cần thêm thông tin chi tiết, hãy hỏi thêm nhé!