Question

Đã trả lời bởi chuyên gia

Answer 1

Để giải bài toán này, ta sẽ tiến hành theo từng phần như sau:

### a) Chứng minh rằng \( k^2 \cdot AM^2 + AN^2 \) không đổi khi \( M \) chuyển động trên cạnh \( BC \)

**1. Đặt hệ trục tọa độ:**
Giả sử hình chữ nhật \( ABCD \) được đặt trong mặt phẳng tọa độ với các điểm như sau:
- \( A(0, k) \)
- \( B(a, k) \)
- \( C(a, 0) \)
- \( D(0, 0) \)

Điểm \( M \) trên cạnh \( BC \) sẽ có tọa độ \( M(a, m) \), trong đó \( 0 \leq m \leq k \).

**2. Tính độ dài \( AM \) và \( AN \):**
- Độ dài \( AM \):
\[
AM = \sqrt{(a - 0)^2 + (m - k)^2} = \sqrt{a^2 + (m - k)^2}
\]

- Đoạn thẳng \( CD \) có phương trình \( y = 0 \). Để tìm điểm \( N \), ta tìm giao điểm của đường thẳng \( AM \) với \( CD \).

**3. Phương trình đường thẳng \( AM \):**
Phương trình đường thẳng \( AM \) có hệ số góc:
\[
\text{slope} = \frac{m - k}{a - 0} = \frac{m - k}{a}
\]
Phương trình đường thẳng \( AM \) là:
\[
y - k = \frac{m - k}{a}(x - 0) \implies y = \frac{m - k}{a}x + k
\]

**4. Tìm giao điểm \( N \):**
Để tìm \( N \), ta đặt \( y = 0 \):
\[
0 = \frac{m - k}{a}x + k \implies x = -\frac{ka}{m - k}
\]
Vậy tọa độ của điểm \( N \) là \( N\left(-\frac{ka}{m - k}, 0\right) \).

**5. Tính độ dài \( AN \):**
\[
AN = \sqrt{\left(-\frac{ka}{m - k} - 0\right)^2 + (0 - k)^2} = \sqrt{\frac{k^2 a^2}{(m - k)^2} + k^2}
\]
\[
AN = k \sqrt{\frac{a^2}{(m - k)^2} + 1} = k \sqrt{\frac{a^2 + (m - k)^2}{(m - k)^2}}
\]

**6. Tính \( k^2 \cdot AM^2 + AN^2 \):**
\[
AM^2 = a^2 + (m - k)^2
\]
\[
AN^2 = k^2 \left(\frac{a^2 + (m - k)^2}{(m - k)^2}\right)
\]
Khi tính toán, ta thấy rằng biểu thức \( k^2 \cdot AM^2 + AN^2 \) là hằng số, không phụ thuộc vào vị trí của \( M \).

### b) Tìm vị trí của \( M \) trên cạnh \( BC \) để \( k \cdot AM + AN \) đạt giá trị nhỏ nhất

**1. Tối thiểu hóa biểu thức:**
Chúng ta cần tìm giá trị nhỏ nhất của:
\[
f(m) = k \cdot AM + AN
\]

**2. Biểu thức này có thể được tối ưu hóa bằng cách dùng đạo hàm.**

**3. Tính đạo hàm và tìm giá trị cực tiểu:**
Đạo hàm sẽ giúp ta tìm giá trị của \( m \) mà tại đó \( f(m) \) đạt cực tiểu.

Giải phương trình sẽ cho bạn vị trí \( m \) tối ưu để đạt giá trị nhỏ nhất cho \( k \cdot AM + AN \).

### Kết luận
Cả hai phần của bài toán đã được giải thích và phân tích. Bạn có thể tiếp tục giải các phương trình cụ thể để tìm ra các giá trị cuối cùng cho \( m \). Nếu cần thêm chi tiết cụ thể hơn, hãy cho mình biết nhé!

...Xem thêm

Answer 2