Bài toán:
Cho hai điểm \(B\), \(C\) phân biệt nằm trên đường tròn \((O)\), với dây \(BC\) không đi qua tâm \(O\). Từ \(B\) và \(C\) kẻ hai tiếp tuyến của \((O)\) cắt nhau tại \(A\).
- a) Chứng minh rằng \(AO\) là đường trung trực của đoạn \(BC\).
- b) Vẽ đường kính \(CD\) của \((O)\). Chứng minh rằng \(BD \parallel OA\).

---

 Giải:

 a) Chứng minh \(AO\) là đường trung trực của đoạn \(BC\)

- \(AB\) và \(AC\) là hai tiếp tuyến của đường tròn \((O)\) tại \(B\) và \(C\), nên theo tính chất tiếp tuyến, ta có:
\[
AB = AC
\]
(Hai đoạn tiếp tuyến xuất phát từ một điểm ngoài đường tròn đến hai tiếp điểm là bằng nhau.)

- Do đó, tam giác \(ABC\) là tam giác cân với \(AB = AC\).

- Vì \(A\) là giao điểm của hai tiếp tuyến và \(O\) là tâm của đường tròn, nên góc tạo bởi hai tiếp tuyến bằng \(90^\circ\), tức là:
\[
\angle OAB = \angle OAC = 90^\circ
\]
Do đó, \(AO\) vuông góc với dây \(BC\).

- Hơn nữa, vì tam giác \(ABC\) cân và \(AO\) vuông góc với \(BC\), nên \(AO\) không chỉ vuông góc mà còn đi qua trung điểm của \(BC\). Do đó, \(AO\) là đường trung trực của đoạn \(BC\).

Kết luận: \(AO\) là đường trung trực của đoạn \(BC\).

---

 b) Chứng minh \(BD \parallel OA\)

- Xét đường kính \(CD\) của đường tròn \((O)\), khi đó, điểm \(D\) là điểm nằm trên đường tròn sao cho:
\[
\angle BCD = 90^\circ
\]
(Do \(CD\) là đường kính, nên góc nội tiếp chắn nửa đường tròn là góc vuông.)

- Trong tam giác \(BCD\), ta có:
\[
\angle BDC = 90^\circ
\]
Vì vậy, tam giác \(BCD\) là tam giác vuông tại \(D\).

- Từ phần a) đã chứng minh rằng \(AO\) vuông góc với \(BC\), nên góc \(\angle AOB = 90^\circ\).

- Do đó, ta có hai góc vuông:
\[
\angle BDC = \angle AOB = 90^\circ
\]
Vì hai góc này bằng nhau, ta suy ra \(BD \parallel OA\).

Kết luận: \(BD \parallel OA\).

---

Vậy, ta đã chứng minh được cả hai yêu cầu của bài toán:
1. \(AO\) là đường trung trực của đoạn \(BC\).
2. \(BD \parallel OA\).

 Bài toán:
Cho hai điểm BB, CC phân biệt nằm trên đường tròn (O)(O), với dây BCBC không đi qua tâm OO. Từ BB và CC kẻ hai tiếp tuyến của (O)(O) cắt nhau tại AA.
- a) Chứng minh rằng AOAO là đường trung trực của đoạn BCBC.
- b) Vẽ đường kính CDCD của (O)(O). Chứng minh rằng BD∥OABD∥OA.

---

 Giải:

 a) Chứng minh AOAO là đường trung trực của đoạn BCBC

- ABAB và ACAC là hai tiếp tuyến của đường tròn (O)(O) tại BB và CC, nên theo tính chất tiếp tuyến, ta có:
AB=ACAB=AC
(Hai đoạn tiếp tuyến xuất phát từ một điểm ngoài đường tròn đến hai tiếp điểm là bằng nhau.)

- Do đó, tam giác ABCABC là tam giác cân với AB=ACAB=AC.

- Vì AA là giao điểm của hai tiếp tuyến và OO là tâm của đường tròn, nên góc tạo bởi hai tiếp tuyến bằng 90∘90∘, tức là:
∠OAB=∠OAC=90∘∠OAB=∠OAC=90∘
Do đó, AOAO vuông góc với dây BCBC.

- Hơn nữa, vì tam giác ABCABC cân và AOAO vuông góc với BCBC, nên AOAO không chỉ vuông góc mà còn đi qua trung điểm của BCBC. Do đó, AOAO là đường trung trực của đoạn BCBC.

Kết luận: AOAO là đường trung trực của đoạn BCBC.

---

 b) Chứng minh BD∥OABD∥OA

- Xét đường kính CDCD của đường tròn (O)(O), khi đó, điểm DD là điểm nằm trên đường tròn sao cho:
∠BCD=90∘∠BCD=90∘
(Do CDCD là đường kính, nên góc nội tiếp chắn nửa đường tròn là góc vuông.)

- Trong tam giác BCDBCD, ta có:
∠BDC=90∘∠BDC=90∘
Vì vậy, tam giác BCDBCD là tam giác vuông tại DD.

- Từ phần a) đã chứng minh rằng AOAO vuông góc với BCBC, nên góc ∠AOB=90∘∠AOB=90∘.

- Do đó, ta có hai góc vuông:
∠BDC=∠AOB=90∘∠BDC=∠AOB=90∘
Vì hai góc này bằng nhau, ta suy ra BD∥OABD∥OA.

Kết luận: BD∥OABD∥OA.

---

Vậy, ta đã chứng minh được cả hai yêu cầu của bài toán:
1. AOAO là đường trung trực của đoạn BCBC.
2. BD∥OABD∥OA.

 Bài toán:
Cho hai điểm BB, CC phân biệt nằm trên đường tròn (O)(O), với dây BCBC không đi qua tâm OO. Từ BB và CC kẻ hai tiếp tuyến của (O)(O) cắt nhau tại AA.
- a) Chứng minh rằng AOAO là đường trung trực của đoạn BCBC.
- b) Vẽ đường kính CDCD của (O)(O). Chứng minh rằng BD∥OABD∥OA.

---

 Giải:

 a) Chứng minh AOAO là đường trung trực của đoạn BCBC

- ABAB và ACAC là hai tiếp tuyến của đường tròn (O)(O) tại BB và CC, nên theo tính chất tiếp tuyến, ta có:
AB=ACAB=AC
(Hai đoạn tiếp tuyến xuất phát từ một điểm ngoài đường tròn đến hai tiếp điểm là bằng nhau.)

- Do đó, tam giác ABCABC là tam giác cân với AB=ACAB=AC.

- Vì AA là giao điểm của hai tiếp tuyến và OO là tâm của đường tròn, nên góc tạo bởi hai tiếp tuyến bằng 90∘90∘, tức là:
∠OAB=∠OAC=90∘∠OAB=∠OAC=90∘
Do đó, AOAO vuông góc với dây BCBC.

- Hơn nữa, vì tam giác ABCABC cân và AOAO vuông góc với BCBC, nên AOAO không chỉ vuông góc mà còn đi qua trung điểm của BCBC. Do đó, AOAO là đường trung trực của đoạn BCBC.

Kết luận: AOAO là đường trung trực của đoạn BCBC.

---

 b) Chứng minh BD∥OABD∥OA

- Xét đường kính CDCD của đường tròn (O)(O), khi đó, điểm DD là điểm nằm trên đường tròn sao cho:
∠BCD=90∘∠BCD=90∘
(Do CDCD là đường kính, nên góc nội tiếp chắn nửa đường tròn là góc vuông.)

- Trong tam giác BCDBCD, ta có:
∠BDC=90∘∠BDC=90∘
Vì vậy, tam giác BCDBCD là tam giác vuông tại DD.

- Từ phần a) đã chứng minh rằng AOAO vuông góc với BCBC, nên góc ∠AOB=90∘∠AOB=90∘.

- Do đó, ta có hai góc vuông:
∠BDC=∠AOB=90∘∠BDC=∠AOB=90∘
Vì hai góc này bằng nhau, ta suy ra BD∥OABD∥OA.

Kết luận: BD∥OABD∥OA.

---

Vậy, ta đã chứng minh được cả hai yêu cầu của bài toán:
1. AOAO là đường trung trực của đoạn BCBC.
2. BD∥OABD∥OA.