Để xác định có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số \( m \) sao cho hàm số \( f(x) = \frac{1}{3}x + m \) có nghiệm nguyên, chúng ta cần làm rõ phương trình cần giải.

### Bước 1: Xác định phương trình

Hàm số \( f(x) = \frac{1}{3}x + m \) sẽ có nghiệm nguyên khi:
\[
\frac{1}{3}x + m = 0
\]
Điều này có nghĩa là:
\[
\frac{1}{3}x = -m \quad \Rightarrow \quad x = -3m
\]

### Bước 2: Điều kiện cho \( x \) là nguyên

Để \( x = -3m \) là một số nguyên, \( m \) cũng cần phải là một số nguyên. Do đó, bất kỳ giá trị nguyên nào của \( m \) đều tạo ra một giá trị nguyên cho \( x \).

### Bước 3: Kết luận

Vì không có giới hạn nào đặt ra cho \( m \) trong bài toán, ta có thể kết luận rằng:

**Có vô số giá trị nguyên của \( m \)** sao cho hàm số \( f(x) = \frac{1}{3}x + m \) có nghiệm nguyên.

### Kết luận

Vì \( m \) có thể nhận tất cả các giá trị nguyên, số lượng giá trị nguyên của tham số \( m \) là vô hạn.