Để chứng minh rằng \( BM = CN \) trong tam giác \( ABC \) với các điều kiện đã cho, chúng ta sẽ sử dụng một số tính chất của hình học.

**Giả sử:**

- \( D \) là trung điểm của cạnh \( BC \).
- \( I \) là điểm trên đường phân giác của góc \( A \).
- Đường thẳng \( MN \) vuông góc với đường phân giác \( AI \) cắt \( AB \) tại \( M \) và \( AC \) tại \( N \).

**Chứng minh:**

1. **Xét các tam giác đồng dạng:**

Với điểm \( D \) là trung điểm của \( BC \), ta có \( BD = DC \). Gọi \( I \) là điểm trên đường phân giác của góc \( A \), điều này có nghĩa rằng:
\[
\frac{AB}{AC} = \frac{BD}{DC}
\]

2. **Sử dụng tỉ lệ đoạn thẳng:**

Vì \( D \) là trung điểm của \( BC \), ta có \( BD = DC \).

3. **Xét đường thẳng vuông góc với phân giác:**

Vì đường thẳng \( MN \) vuông góc với đường phân giác \( AI \), theo đặc điểm của đường phân giác, ta có:
- Góc \( AMI = \angle AMN \)
- Góc \( ANI = \angle ANC \)

Vì vậy, ba điểm \( A, M, N \) có mối quan hệ tỉ lệ giữa các đoạn thẳng \( BM \) và \( CN \).

4. **Từ góc vuông và góc phân giác:**

Khi xét hai tam giác:
- \( ABM \)
- \( ACN \)

Ta thấy rằng:
- \( AD \) là trung tuyến và cũng là phân giác từ điểm \( A \) đến \( D \).
- Do đó, hai tam giác \( \triangle ABM \) và \( \triangle ACN \) có góc tương ứng \( \angle AMI = \angle ANI \) (góc vuông) và \( \angle ADB = \angle ADC \).

5. **Kết luận:**

Vì tam giác \( \triangle ABM \) và \( \triangle ACN \) có hai góc tương ứng bằng nhau và một cạnh (cạnh \( AD \)) chung, nên theo định lý đồng dạng:
\[
\frac{BM}{AB} = \frac{CN}{AC}
\]

Vì đường phân giác chia đoạn thẳng \( BC \) thành hai đoạn bằng nhau, từ đó suy ra rằng \( BM = CN \).

Vậy đã chứng minh được rằng:
\[
BM = CN
\]

Điều này chính xác với giả định và quy tắc của hình học.

Để chứng minh rằng BM=CNBM=CN trong tam giác ABCABC với các điều kiện đã cho, chúng ta sẽ sử dụng một số tính chất của hình học.

**Giả sử:**

- DD là trung điểm của cạnh BCBC.
- II là điểm trên đường phân giác của góc AA.
- Đường thẳng MNMN vuông góc với đường phân giác AIAI cắt ABAB tại MM và ACAC tại NN.

**Chứng minh:**

1. **Xét các tam giác đồng dạng:**

Với điểm DD là trung điểm của BCBC, ta có BD=DCBD=DC. Gọi II là điểm trên đường phân giác của góc AA, điều này có nghĩa rằng:
ABAC=BDDCABAC=BDDC

2. **Sử dụng tỉ lệ đoạn thẳng:**

Vì DD là trung điểm của BCBC, ta có BD=DCBD=DC.

3. **Xét đường thẳng vuông góc với phân giác:**

Vì đường thẳng MNMN vuông góc với đường phân giác AIAI, theo đặc điểm của đường phân giác, ta có:
- Góc AMI=∠AMNAMI=∠AMN
- Góc ANI=∠ANCANI=∠ANC

Vì vậy, ba điểm A,M,NA,M,N có mối quan hệ tỉ lệ giữa các đoạn thẳng BMBM và CNCN.

4. **Từ góc vuông và góc phân giác:**

Khi xét hai tam giác:
- ABMABM
- ACNACN

Ta thấy rằng:
- ADAD là trung tuyến và cũng là phân giác từ điểm AA đến DD.
- Do đó, hai tam giác △ABM△ABM và △ACN△ACN có góc tương ứng ∠AMI=∠ANI∠AMI=∠ANI (góc vuông) và ∠ADB=∠ADC∠ADB=∠ADC.

5. **Kết luận:**

Vì tam giác △ABM△ABM và △ACN△ACN có hai góc tương ứng bằng nhau và một cạnh (cạnh ADAD) chung, nên theo định lý đồng dạng:
BMAB=CNACBMAB=CNAC

Vì đường phân giác chia đoạn thẳng BCBC thành hai đoạn bằng nhau, từ đó suy ra rằng BM=CNBM=CN.

Vậy đã chứng minh được rằng:
BM=CNBM=CN

Điều này chính xác với giả định và quy tắc của hình học.