Để xét hàm số \( y = \frac{x - 1}{2x + 1} \) trên đoạn \([0; 1]\), ta thực hiện các bước sau:

### 1. Tính giá trị hàm số tại các điểm biên

- **Tại \( x = 0 \)**:
\[
y(0) = \frac{0 - 1}{2(0) + 1} = \frac{-1}{1} = -1
\]

- **Tại \( x = 1 \)**:
\[
y(1) = \frac{1 - 1}{2(1) + 1} = \frac{0}{3} = 0
\]

### 2. Tính đạo hàm để tìm các điểm cực trị

Tính đạo hàm \( y' \) bằng quy tắc thương:
\[
y' = \frac{(2x + 1)(1) - (x - 1)(2)}{(2x + 1)^2}
\]
\[
= \frac{(2x + 1) - 2(x - 1)}{(2x + 1)^2} = \frac{2x + 1 - 2x + 2}{(2x + 1)^2} = \frac{3}{(2x + 1)^2}
\]

### 3. Phân tích dấu đạo hàm

- Đạo hàm \( y' = \frac{3}{(2x + 1)^2} \) luôn dương trên \([0; 1]\), do \( 2x + 1 > 0 \) trong khoảng này.

### 4. Kết luận về hàm số

Hàm số \( y \) là hàm tăng trên đoạn \([0; 1]\).

### 5. Giá trị cực tiểu và cực đại

- **Giá trị cực tiểu tại \( x = 0 \)**: \( y(0) = -1 \)
- **Giá trị cực đại tại \( x = 1 \)**: \( y(1) = 0 \)

### Kết luận

Hàm số \( y = \frac{x - 1}{2x + 1} \) trên đoạn \([0; 1]\) là hàm tăng, với giá trị nhỏ nhất là \(-1\) tại \( x = 0 \) và giá trị lớn nhất là \( 0 \) tại \( x = 1 \).

Để xét hàm số \( y = \frac{x - 1}{2x + 1} \) trên đoạn \([0; 1]\), ta sẽ thực hiện các bước sau:

1. **Tính giá trị của hàm số tại các đầu mút của đoạn:**
- Tại \( x = 0 \):
\[
y(0) = \frac{0 - 1}{2 \cdot 0 + 1} = \frac{-1}{1} = -1
\]
- Tại \( x = 1 \):
\[
y(1) = \frac{1 - 1}{2 \cdot 1 + 1} = \frac{0}{3} = 0
\]

2. **Tính đạo hàm của hàm số để xác định tính khả biến và cực trị:**
\[
y = \frac{x - 1}{2x + 1}
\]
Áp dụng quy tắc đạo hàm của thương:
\[
y' = \frac{(2x + 1)(1) - (x - 1)(2)}{(2x + 1)^2}
\]
Tính tử số:
\[
= (2x + 1) - 2(x - 1) = 2x + 1 - 2x + 2 = 3
\]
Vậy đạo hàm là:
\[
y' = \frac{3}{(2x + 1)^2}
\]

Đạo hàm \( y' \) luôn dương cho mọi \( x \) trong đoạn \([0; 1]\) (vì tử số là dương và mẫu dương trên đoạn này). Điều này cho thấy hàm số đồng biến trên \([0; 1]\).

3. **Tính giá trị cực trị:**
Vì hàm số đồng biến, giá trị của hàm tại các đầu mút sẽ là nhỏ nhất và lớn nhất:
- Giá trị nhỏ nhất tại \( x = 0 \): \( y(0) = -1 \)
- Giá trị lớn nhất tại \( x = 1 \): \( y(1) = 0 \)

4. **Kết luận:**
- Hàm số \( y = \frac{x - 1}{2x + 1} \) đồng biến trên \([0; 1]\).
- Giá trị nhỏ nhất là \(-1\) tại \( x = 0\) và giá trị lớn nhất là \(0\) tại \( x = 1\).

Thông tin này cho thấy hàm số có giá trị từ \(-1\) đến \(0\) trong đoạn \([0; 1]\).