Question

Đã trả lời bởi chuyên gia

Answer 1

Để chứng minh rằng \( MN \parallel CD \) và \( MN = \frac{AB + CD}{2} \) trong hình thang \( ABCD \) với \( AB \parallel CD \), ta làm theo các bước sau:

### 1. Đặt hệ trục tọa độ
Giả sử:
- \( A(0, 0) \)
- \( B(a, 0) \) (vì \( AB \parallel CD \) nên cùng nằm trên một đường thẳng ngang)
- \( C(b, h) \)
- \( D(c, h) \)

### 2. Tìm tọa độ của trung điểm \( M \) và \( N \)
- Trung điểm \( M \) của \( AD \):
\[
M = \left( \frac{0+c}{2}, \frac{0+h}{2} \right) = \left( \frac{c}{2}, \frac{h}{2} \right)
\]

- Trung điểm \( N \) của \( BC \):
\[
N = \left( \frac{a+b}{2}, \frac{0+h}{2} \right) = \left( \frac{a+b}{2}, \frac{h}{2} \right)
\]

### 3. Tính độ dốc của \( MN \)
- Độ dốc của đoạn thẳng \( MN \):
\[
\text{Độ dốc của } MN = \frac{\frac{h}{2} - \frac{h}{2}}{\frac{a+b}{2} - \frac{c}{2}} = \frac{0}{\frac{a+b-c}{2}} = 0
\]
Điều này chứng tỏ \( MN \) là một đoạn thẳng nằm ngang, tức là \( MN \parallel CD \) (cũng là một đoạn nằm ngang).

### 4. Tính độ dài \( MN \)
- Độ dài \( MN \):
\[
MN = \sqrt{\left( \frac{a+b}{2} - \frac{c}{2} \right)^2 + \left( \frac{h}{2} - \frac{h}{2} \right)^2} = \left| \frac{a+b-c}{2} \right|
\]
- Độ dài \( AB \):
\[
AB = a
\]
- Độ dài \( CD \):
\[
CD = |c - b|
\]

### 5. Chứng minh \( MN = \frac{AB + CD}{2} \)
- Tính \( AB + CD \):
\[
AB + CD = a + |c - b|
\]
- Bây giờ, xét \( MN \):
\[
MN = \frac{a + |c - b|}{2}
\]

Khi \( a \) và \( c - b \) có cùng dấu, điều này cho thấy:
\[
MN = \frac{AB + CD}{2}
\]

### Kết luận
Chúng ta đã chứng minh rằng:
1. \( MN \parallel CD \)
2. \( MN = \frac{AB + CD}{2} \)

Do đó, \( MN \) là đoạn trung bình trong hình thang \( ABCD \).

...Xem thêm

Answer 2