Để xét tính đơn điệu của hàm số \( f(x) = \frac{x^2 + x + 2}{x - 1} \), chúng ta sẽ thực hiện các bước sau:

### Bước 1: Tính đạo hàm

Áp dụng quy tắc đạo hàm thương:

\[
f'(x) = \frac{(x - 1)(2x + 1) - (x^2 + x + 2)(1)}{(x - 1)^2}
\]

### Bước 2: Đơn giản hóa biểu thức đạo hàm

Phát triển tử số:

\[
f'(x) = \frac{(2x^2 + x - 2x - 1) - (x^2 + x + 2)}{(x - 1)^2} = \frac{2x^2 - x - 1 - x^2 - x - 2}{(x - 1)^2}
\]

\[
= \frac{x^2 - 2x - 3}{(x - 1)^2}
\]

### Bước 3: Tìm nghiệm của tử số

Giải phương trình \( x^2 - 2x - 3 = 0 \) bằng cách sử dụng công thức nghiệm:

\[
x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 12}}{2} = \frac{2 \pm 4}{2}
\]

Vậy nghiệm là:

\[
x_1 = 3, \quad x_2 = -1
\]

### Bước 4: Xét dấu của \( f'(x) \)

Hàm số xác định trên \( \mathbb{R} \setminus \{1\} \). Xét các khoảng:

- Khoảng \( (-\infty, -1) \)
- Khoảng \( (-1, 1) \)
- Khoảng \( (1, 3) \)
- Khoảng \( (3, +\infty) \)

Chọn một điểm trong mỗi khoảng để xét dấu \( f'(x) \):

1. **Khoảng \( (-\infty, -1) \)**: Chọn \( x = -2 \):
\[
f'(-2) = \frac{(-2)^2 - 2(-2) - 3}{(-2 - 1)^2} = \frac{4 + 4 - 3}{9} > 0 \quad \Rightarrow \text{tăng}
\]

2. **Khoảng \( (-1, 1) \)**: Chọn \( x = 0 \):
\[
f'(0) = \frac{0^2 - 2(0) - 3}{(0 - 1)^2} = \frac{-3}{1} < 0 \quad \Rightarrow \text{giảm}
\]

3. **Khoảng \( (1, 3) \)**: Chọn \( x = 2 \):
\[
f'(2) = \frac{2^2 - 2(2) - 3}{(2 - 1)^2} = \frac{4 - 4 - 3}{1} < 0 \quad \Rightarrow \text{giảm}
\]

4. **Khoảng \( (3, +\infty) \)**: Chọn \( x = 4 \):
\[
f'(4) = \frac{4^2 - 2(4) - 3}{(4 - 1)^2} = \frac{16 - 8 - 3}{9} > 0 \quad \Rightarrow \text{tăng}
\]

### Kết luận

- Hàm số \( f(x) \) **tăng** trên \( (-\infty, -1) \).
- Hàm số \( f(x) \) **giảm** trên \( (-1, 1) \) và \( (1, 3) \).
- Hàm số \( f(x) \) **tăng** trên \( (3, +\infty) \).

Vì vậy, hàm số có tính chất đơn điệu như sau:
- Tăng trên \( (-\infty, -1) \) và \( (3, +\infty) \).
- Giảm trên \( (-1, 1) \) và \( (1, 3) \).