Question

Đã trả lời bởi chuyên gia

Answer 1

Chúng ta cần tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau:

\[
D = \frac{1}{a^2} + 2bc + \frac{1}{b^2} + 2ac + \frac{1}{c^2} + 2ab \quad \text{với điều kiện} \quad a + b + c = 1
\]

### Phương pháp tiếp cận:

1. **Sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz hoặc AM-GM** để tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức.

2. **Kiểm tra các trường hợp đặc biệt** khi \(a = b = c\) để tìm giá trị nhỏ nhất có thể.

### Bước 1: Kiểm tra khi \( a = b = c \)

Giả sử \( a = b = c = \frac{1}{3} \), thay vào biểu thức:

\[
D = \frac{1}{a^2} + 2bc + \frac{1}{b^2} + 2ac + \frac{1}{c^2} + 2ab
\]

Do \( a = b = c = \frac{1}{3} \), chúng ta thay vào để tính:

\[
D = 3 \times \frac{1}{\left(\frac{1}{3}\right)^2} + 6 \times \left(\frac{1}{3} \times \frac{1}{3}\right)
\]

\[
D = 3 \times \frac{1}{\frac{1}{9}} + 6 \times \frac{1}{9}
\]

\[
D = 3 \times 9 + 6 \times \frac{1}{9} = 27 + \frac{6}{9} = 27 + \frac{2}{3}
\]

\[
D = 27 + 0.67 = 27.67
\]

### Bước 2: Sử dụng bất đẳng thức AM-GM

Bất đẳng thức AM-GM cho thấy rằng giá trị nhỏ nhất của biểu thức sẽ xuất hiện khi các biến có giá trị bằng nhau. Tuy nhiên, qua phép tính trên, giá trị nhỏ nhất của \(D\) khi \(a = b = c = \frac{1}{3}\) là **27.67**.

Từ đây, ta thấy rằng giá trị của \(D\) lớn hơn 9, và do đó điều kiện \(D \geq 9\) là thỏa mãn.

...Xem thêm

Answer 2