Để tính tổng của dãy số $F = 6 + 16 + 30 + \cdots + 2n(n + 1)$, trước tiên chúng ta cần xác định công thức tổng quát của dãy số này và sau đó tính tổng của nó.

### Xác định Công Thức Tổng Quát

Dựa vào các số hạng đầu tiên trong dãy $6, 16, 30, \ldots$, chúng ta có thể nhận thấy rằng mỗi số hạng có dạng $2n(n + 1)$. Ta sẽ kiểm tra và xác nhận công thức này bằng cách thay giá trị $n$ vào.

- **Khi $n = 1$**:
$2 \cdot 1 \cdot (1 + 1) = 2 \cdot 1 \cdot 2 = 4 \quad (\text{nhưng chúng ta có } 6, \text{ nên } n = 1 \text{ không phải là trường hợp đúng})$

- **Khi $n = 2$**:
$2 \cdot 2 \cdot (2 + 1) = 2 \cdot 2 \cdot 3 = 12 \quad (\text{nhưng chúng ta có } 16, \text{ nên } n = 2 \text{ không phải là trường hợp đúng})$

- **Khi $n = 3$**:
$2 \cdot 3 \cdot (3 + 1) = 2 \cdot 3 \cdot 4 = 24 \quad (\text{nhưng chúng ta có } 30, \text{ nên } n = 3 \text{ không phải là trường hợp đúng})$

Nhận thấy rằng công thức $2n(n + 1)$ không khớp với các số hạng cụ thể của dãy, ta sẽ kiểm tra lại công thức tổng quát bằng cách điều chỉnh hoặc xác định lại từ số hạng cụ thể.

### Tìm Công Thức Tổng Quát

Dựa vào các số hạng cụ thể trong dãy:

- **6 là số hạng thứ nhất**: $2 \cdot 2 \cdot 3$
- **16 là số hạng thứ hai**: $2 \cdot 4 \cdot 5$
- **30 là số hạng thứ ba**: $2 \cdot 5 \cdot 6$

Có vẻ như công thức tổng quát là:
$a_n = 2(n+1)(n+2)$

### Tính Tổng

Chúng ta sẽ tính tổng của $F$ với công thức tổng quát:
$F = \sum_{n=1}^k 2(n+1)(n+2)$

Sử dụng công thức tổng của dãy số, ta có:

$F = \sum_{n=1}^k 2(n^2 + 3n + 2)$
$F = 2 \sum_{n=1}^k (n^2 + 3n + 2)$
$F = 2 \left(\sum_{n=1}^k n^2 + 3 \sum_{n=1}^k n + 2 \sum_{n=1}^k 1 \right)$
$F = 2 \left(\frac{k(k+1)(2k+1)}{6} + 3 \cdot \frac{k(k+1)}{2} + 2k \right)$
$F = 2 \left(\frac{k(k+1)(2k+1)}{6} + \frac{3k^2 + 3k}{2} + 2k \right)$
$F = 2 \left(\frac{k(k+1)(2k+1)}{6} + \frac{3k^2 + 3k + 12k}{6} \right)$
$F = 2 \left(\frac{k(k+1)(2k+1) + 3k^2 + 15k}{6} \right)$
$F = \frac{2[k(k+1)(2k+1) + 3k^2 + 15k]}{6}$
$F = \frac{k(k+1)(2k+1) + 3k^2 + 15k}{3}$

Do đó, tổng $F$ cho dãy số có dạng $2(n+1)(n+2)$ có công thức tính cụ thể như trên.

Để tính giá trị của $F$ cho dãy số $F = 6 + 16 + 30 + \cdots + 2n(n + 1)$, trước tiên chúng ta cần tìm tổng của dãy số này. Dãy số đã cho là:

$F = \sum_{k=1}^n 2k(k + 1)$

Trước tiên, ta cần tìm một biểu thức tổng quát cho số hạng $2k(k + 1)$.

Biểu thức $2k(k + 1)$ có thể được mở rộng như sau:

$2k(k + 1) = 2k^2 + 2k$

Vậy tổng của dãy số sẽ là:

$F = \sum_{k=1}^n (2k^2 + 2k)$

Tách tổng thành hai tổng riêng biệt:

$F = \sum_{k=1}^n 2k^2 + \sum_{k=1}^n 2k$

Chúng ta sử dụng công thức tổng của bình phương và tổng của số tự nhiên:

1. **Tổng của $k^2$:**

$\sum_{k=1}^n k^2 = \frac{n(n + 1)(2n + 1)}{6}$

Do đó:

$\sum_{k=1}^n 2k^2 = 2 \cdot \frac{n(n + 1)(2n + 1)}{6} = \frac{n(n + 1)(2n + 1)}{3}$

2. **Tổng của $k$:**

$\sum_{k=1}^n k = \frac{n(n + 1)}{2}$

Do đó:

$\sum_{k=1}^n 2k = 2 \cdot \frac{n(n + 1)}{2} = n(n + 1)$

Kết hợp hai kết quả trên:

$F = \frac{n(n + 1)(2n + 1)}{3} + n(n + 1)$

Đưa về cùng một mẫu số:

$F = \frac{n(n + 1)(2n + 1) + 3n(n + 1)}{3}$

$F = \frac{n(n + 1)(2n + 1 + 3)}{3}$

$F = \frac{n(n + 1)(2n + 4)}{3}$

Rút gọn biểu thức:

$F = \frac{n(n + 1) \cdot 2(n + 2)}{3}$

$F = \frac{2n(n + 1)(n + 2)}{3}$

Do đó, tổng $F$ của dãy số $6 + 16 + 30 + \cdots + 2n(n + 1)$ là:

$F = \frac{2n(n + 1)(n + 2)}{3}$