Question

Đã trả lời bởi chuyên gia

Answer 1

Để giải bài toán này, ta thực hiện các bước sau:

### a) Rút gọn biểu thức \( P \)

Biểu thức \( P \) là:
\[
P = \frac{2}{\sqrt{x} - 1} + \frac{2}{\sqrt{x} + 1} - \frac{5 - \sqrt{x}}{x - 1}
\]

1. **Rút gọn hai phân số đầu tiên:**

Tìm mẫu số chung của hai phân số đầu tiên là \((\sqrt{x} - 1)(\sqrt{x} + 1) = x - 1\):
\[
\frac{2}{\sqrt{x} - 1} + \frac{2}{\sqrt{x} + 1} = \frac{2(\sqrt{x} + 1) + 2(\sqrt{x} - 1)}{(\sqrt{x} - 1)(\sqrt{x} + 1)}
\]
\[
= \frac{2\sqrt{x} + 2 + 2\sqrt{x} - 2}{x - 1}
\]
\[
= \frac{4\sqrt{x}}{x - 1}
\]

Do đó:
\[
\frac{2}{\sqrt{x} - 1} + \frac{2}{\sqrt{x} + 1} = \frac{4\sqrt{x}}{x - 1}
\]

2. **Rút gọn biểu thức \( P \):**

\[
P = \frac{4\sqrt{x}}{x - 1} - \frac{5 - \sqrt{x}}{x - 1}
\]
\[
= \frac{4\sqrt{x} - (5 - \sqrt{x})}{x - 1}
\]
\[
= \frac{4\sqrt{x} - 5 + \sqrt{x}}{x - 1}
\]
\[
= \frac{5\sqrt{x} - 5}{x - 1}
\]
\[
= \frac{5(\sqrt{x} - 1)}{x - 1}
\]

Nhận thấy \(x - 1 = (\sqrt{x} - 1)(\sqrt{x} + 1)\), ta có:
\[
\frac{5(\sqrt{x} - 1)}{(\sqrt{x} - 1)(\sqrt{x} + 1)} = \frac{5}{\sqrt{x} + 1}
\]

**Kết luận:** Biểu thức \( P \) được rút gọn là:
\[
P = \frac{5}{\sqrt{x} + 1}
\]

### b) Tính giá trị của biểu thức \( P \) tại \( x = 4 \)

1. **Tính \(\sqrt{4}\):**
\[
\sqrt{4} = 2
\]

2. **Thay vào biểu thức \( P \):**
\[
P = \frac{5}{\sqrt{4} + 1}
\]
\[
P = \frac{5}{2 + 1} = \frac{5}{3}
\]

**Kết luận:** Giá trị của biểu thức \( P \) tại \( x = 4 \) là \( \frac{5}{3} \).

### c) Tìm giá trị của \( x \) để \( P \) có giá trị là số nguyên

1. **Để \(\frac{5}{\sqrt{x} + 1}\) là số nguyên, mẫu số \(\sqrt{x} + 1\) phải là một ước của 5.**

Các ước của 5 là \( \pm 1 \) và \( \pm 5 \). Ta chỉ xét các giá trị dương vì \(\sqrt{x} \geq 0\).

- **Nếu \(\sqrt{x} + 1 = 1\):**

\[
\sqrt{x} + 1 = 1 \implies \sqrt{x} = 0 \implies x = 0
\]

Nhưng \(x \geq 0\), nên loại bỏ.

- **Nếu \(\sqrt{x} + 1 = 5\):**

\[
\sqrt{x} + 1 = 5 \implies \sqrt{x} = 4 \implies x = 16
\]

2. **Kiểm tra giá trị \( x = 16 \):**

\[
\sqrt{16} = 4
\]
\[
P = \frac{5}{4 + 1} = \frac{5}{5} = 1
\]

Đây là số nguyên.

**Kết luận:** Giá trị của \( x \) để \( P \) có giá trị là số nguyên là \( x = 16 \).

...Xem thêm

Answer 2