### Bài 2:

#### a) Cho \(\cos\alpha = \frac{5}{13}\) với \(0 < \alpha < \frac{\pi}{2}\). Tính \(\sin\left(\alpha + \frac{\pi}{4}\right)\)

**Bước 1: Tính \(\sin\alpha\)**

Sử dụng công thức lượng giác cơ bản:

\[
\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1
\]

Thay \(\cos\alpha = \frac{5}{13}\) vào:

\[
\sin^2\alpha + \left(\frac{5}{13}\right)^2 = 1
\]

\[
\sin^2\alpha + \frac{25}{169} = 1
\]

\[
\sin^2\alpha = 1 - \frac{25}{169} = \frac{144}{169}
\]

\[
\sin\alpha = \sqrt{\frac{144}{169}} = \frac{12}{13}
\]

Vì \(0 < \alpha < \frac{\pi}{2}\), nên \(\sin\alpha > 0\).

**Bước 2: Tính \(\sin\left(\alpha + \frac{\pi}{4}\right)\)**

Sử dụng công thức cộng:

\[
\sin\left(\alpha + \frac{\pi}{4}\right) = \sin\alpha \cos\frac{\pi}{4} + \cos\alpha \sin\frac{\pi}{4}
\]

Vì \(\cos\frac{\pi}{4} = \sin\frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}\), ta có:

\[
\sin\left(\alpha + \frac{\pi}{4}\right) = \frac{12}{13} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{5}{13} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}
\]

Rút gọn:

\[
\sin\left(\alpha + \frac{\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{12 + 5}{13} = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{17}{13} = \frac{17\sqrt{2}}{26}
\]

**Kết quả:**

\[
\sin\left(\alpha + \frac{\pi}{4}\right) = \frac{17\sqrt{2}}{26}
\]

---

#### b) Cho \(\sin\alpha = -\frac{40}{41}\) với \(\pi < \alpha < \frac{3\pi}{2}\). Tính các giá trị sau:

**Bước 1: Tính \(\cos\alpha\)**

Sử dụng công thức lượng giác cơ bản:

\[
\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1
\]

Thay \(\sin\alpha = -\frac{40}{41}\) vào:

\[
\left(-\frac{40}{41}\right)^2 + \cos^2\alpha = 1
\]

\[
\frac{1600}{1681} + \cos^2\alpha = 1
\]

\[
\cos^2\alpha = 1 - \frac{1600}{1681} = \frac{81}{1681}
\]

\[
\cos\alpha = \frac{9}{41}
\]

Vì \(\pi < \alpha < \frac{3\pi}{2}\) (góc thuộc cung thứ ba), nên \(\cos\alpha < 0\).

Do đó:

\[
\cos\alpha = -\frac{9}{41}
\]

**Bước 2: Tính \(\tan(\alpha - \frac{\pi}{4})\)**

Sử dụng công thức:

\[
\tan(\alpha - \frac{\pi}{4}) = \frac{\tan\alpha - \tan\frac{\pi}{4}}{1 + \tan\alpha \tan\frac{\pi}{4}}
\]

Vì \(\tan\frac{\pi}{4} = 1\), nên:

\[
\tan(\alpha - \frac{\pi}{4}) = \frac{\tan\alpha - 1}{1 + \tan\alpha}
\]

Tính \(\tan\alpha\):

\[
\tan\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} = \frac{-\frac{40}{41}}{-\frac{9}{41}} = \frac{40}{9}
\]

Do đó:

\[
\tan(\alpha - \frac{\pi}{4}) = \frac{\frac{40}{9} - 1}{1 + \frac{40}{9}} = \frac{\frac{40 - 9}{9}}{\frac{9 + 40}{9}} = \frac{31}{49}
\]

**Bước 3: Tính \(\sin\left(\alpha + \frac{\pi}{6}\right)\)**

Sử dụng công thức cộng:

\[
\sin\left(\alpha + \frac{\pi}{6}\right) = \sin\alpha \cos\frac{\pi}{6} + \cos\alpha \sin\frac{\pi}{6}
\]

Vì \(\cos\frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2}\) và \(\sin\frac{\pi}{6} = \frac{1}{2}\):

\[
\sin\left(\alpha + \frac{\pi}{6}\right) = -\frac{40}{41} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \left(-\frac{9}{41}\right) \cdot \frac{1}{2} = -\frac{20\sqrt{3}}{41} - \frac{9}{82}
\]

**Bước 4: Tính \(\sin 2\alpha\) và \(\cos 2\alpha\)**

Sử dụng các công thức:

\[
\sin 2\alpha = 2\sin\alpha\cos\alpha = 2 \cdot \left(-\frac{40}{41}\right) \cdot \left(-\frac{9}{41}\right) = \frac{720}{1681}
\]

\[
\cos 2\alpha = \cos^2\alpha - \sin^2\alpha = \left(-\frac{9}{41}\right)^2 - \left(-\frac{40}{41}\right)^2 = \frac{81}{1681} - \frac{1600}{1681} = -\frac{1519}{1681}
\]

**Bước 5: Tính \(\sin 3\alpha\)**

Sử dụng công thức:

\[
\sin 3\alpha = 3\sin\alpha - 4\sin^3\alpha
\]

\[
\sin 3\alpha = 3\left(-\frac{40}{41}\right) - 4\left(-\frac{40}{41}\right)^3 = -\frac{120}{41} + \frac{256000}{68921}
\]

---

### Kết quả tổng hợp:

1. \(\tan(\alpha - \frac{\pi}{4}) = \frac{31}{49}\)
2. \(\sin(\alpha + \frac{\pi}{6}) = -\frac{20\sqrt{3}}{41} - \frac{9}{82}\)
3. \(\sin 2\alpha = \frac{720}{1681}\)
4. \(\cos 2\alpha = -\frac{1519}{1681}\)
5. \(\sin 3\alpha = -\frac{120}{41} + \frac{256000}{68921}\)

a) Cho cos alpha bằng 5 chia cho 13 với 0 nhỏ hơn alpha nhỏ hơn pi chia cho 2.

Để tính sin alpha, ta dùng công thức mà tổng bình phương của sin và cos bằng 1:

sin bình phương alpha cộng với cos bình phương alpha bằng 1.

Thay cos alpha vào:

sin bình phương alpha cộng với (5 chia cho 13) bình phương bằng 1.

Tính giá trị:

sin bình phương alpha cộng với 25 chia cho 169 bằng 1.

Sau đó, ta có:

sin bình phương alpha bằng 1 trừ 25 chia cho 169, kết quả là 144 chia cho 169.

Do đó, sin alpha bằng căn bậc hai của 144 chia cho 169, kết quả là 12 chia cho 13.

Vậy ta có sin alpha bằng 12 chia cho 13 và cos alpha bằng 5 chia cho 13.

Tiếp theo, chúng ta tính sin (alpha cộng pi chia cho 4).

Dùng công thức tổng góc:

sin (alpha cộng pi chia cho 4) bằng sin alpha nhân với cos pi chia cho 4 cộng với cos alpha nhân với sin pi chia cho 4.

Tính từng phần:

sin pi chia cho 4 bằng căn bậc hai của 2 chia cho 2 và cos pi chia cho 4 bằng căn bậc hai của 2 chia cho 2.

Thay số vào:

sin (alpha cộng pi chia cho 4) bằng (12 chia cho 13) nhân với (căn bậc hai của 2 chia cho 2) cộng với (5 chia cho 13) nhân với (căn bậc hai của 2 chia cho 2).

Rút gọn:

Kết quả là (12 cộng 5) nhân với căn bậc hai của 2 chia cho 26, tức là 17 nhân với căn bậc hai của 2 chia cho 26.

b) Cho sin alpha bằng -40 chia cho 41 với pi nhỏ hơn alpha nhỏ hơn 3 pi chia cho 2.

1) Đầu tiên, để tính tan (alpha trừ pi chia cho 4):

Ta dùng công thức tan:

tan (alpha trừ pi chia cho 4) bằng (tan alpha trừ 1) chia cho (1 cộng tan alpha).

Tính tan alpha từ sin alpha và cos alpha:

cos alpha bằng căn bậc hai của (1 trừ sin bình phương alpha). Kết quả sẽ là căn bậc hai của 1 trừ (-40 chia cho 41) bình phương. Sau đó, ta có giá trị cos alpha. Từ đó, tính tan alpha.

Cuối cùng thay tan alpha vào công thức tan (alpha trừ pi chia cho 4).

2) Tính sin (alpha cộng pi chia cho 6):

Dùng công thức tổng góc:

sin (alpha cộng pi chia cho 6) bằng sin alpha nhân cos pi chia cho 6 cộng cos alpha nhân sin pi chia cho 6.

Thay sin alpha và cos alpha vào.

3) Tính sin bình phương alpha, cos bình phương alpha, sin ba lần alpha:

đã có sin alpha, nên tính đơn giản là làm theo công thức.