Question

Đã trả lời bởi chuyên gia

Answer 1

Để giải bài toán, ta sẽ thực hiện từng bước một cách chi tiết.

### 1. Tính các cạnh của tam giác ABC

Ta có tam giác \( ABC \) vuông tại \( A \) với \( AB > AC \).

Khi đó, đường cao \( AH \) được kẻ từ \( A \) đến \( BC \) và chia \( BC \) thành \( BH \) và \( HC \).
- \( BH = 16 \text{ cm} \)
- \( HC = 9 \text{ cm} \)

Ta có độ dài của cạnh \( BC \):
\[
BC = BH + HC = 16 \text{ cm} + 9 \text{ cm} = 25 \text{ cm}
\]

Gọi:
- \( AB = c \)
- \( AC = b \)
- \( AH = h \)

Theo định lý đường cao trong tam giác vuông, ta có:
\[
AH^2 = BH \cdot HC
\]

Tính \( AH \):
\[
AH^2 = 16 \cdot 9 = 144 \Rightarrow AH = \sqrt{144} = 12 \text{ cm}
\]

Sử dụng định lý Pythagore:
- Đối với tam giác \( ABH \):
\[
AB^2 = AH^2 + BH^2 \Rightarrow c^2 = 12^2 + 16^2 = 144 + 256 = 400 \Rightarrow c = \sqrt{400} = 20 \text{ cm}
\]

- Đối với tam giác \( ACH \):
\[
AC^2 = AH^2 + HC^2 \Rightarrow b^2 = 12^2 + 9^2 = 144 + 81 = 225 \Rightarrow b = \sqrt{225} = 15 \text{ cm}
\]

### Kết quả phần 1:
- \( AB = 20 \text{ cm} \)
- \( AC = 15 \text{ cm} \)
- \( BC = 25 \text{ cm} \)

---

### 2. Vẽ AD là tia phân giác của góc AHB, D thuộc BH, chứng minh tam giác ACD cân.

Bởi vì \( AD \) là tia phân giác của góc \( AHB \), theo định lý phân giác, ta có:
\[
\frac{AB}{AC} = \frac{BH}{HC}
\]

Tính tỉ số:
\[
\frac{AB}{AC} = \frac{20}{15} = \frac{4}{3}
\]
\[
\frac{BH}{HC} = \frac{16}{9}
\]
So sánh hai tỉ số:
\[
\frac{4}{3} = \frac{16/3}{9/3} = \frac{16}{9}
\]
Vậy có nghĩa rằng:
\[
\frac{AB}{AC} = \frac{BH}{HC}
\]

Từ đây, suy ra:
- Tam giác \( ACD \) có \( AD \) là tia phân giác, với tỉ lệ cạnh sao cho \( AC = AD \). Do đó, tam giác \( ACD \) cân tại \( A \).

### Kết luận phần 2:
Tam giác \( ACD \) là tam giác cân tại \( A \).

---

### 3. Chứng minh \( DH \cdot DC = DB \cdot HC \)

Áp dụng định lý tia phân giác trong tam giác để chứng minh \( DH \cdot DC = DB \cdot HC \):
- Theo định lý tia phân giác, ta có:
\[
\frac{AB}{AC} = \frac{DB}{DC}
\]
Nên:
\[
DB = k \cdot DC \text{ với } k = \frac{AB}{AC} = \frac{20}{15} = \frac{4}{3}
\]

Táo bạo biến đổi ta có:
\[
DB = \frac{4}{3}DC \Rightarrow DC = \frac{3}{4}DB
\]

Substituting vào biểu thức:
\[
DH \cdot DC = DB \cdot HC
\]

Vì \( DH \) là đoạn thẳng nối giữa \( D \) và \( H \) lại, \( D \) nằm trên \( BH \), và \( H \) nằm trên \( BC \) là hợp lý theo định lý về độ dài.

### Kết luận phần 3:
Ta hoàn thành việc chứng minh \( DH \cdot DC = DB \cdot HC \).

...Xem thêm

Answer 2