Để phân tích và giải bài toán hình học từ đề bài đã cho, ta sẽ đi từng phần một.

### Giả thiết:
Cho tam giác \( ABC \) có 3 góc nhọn, kẻ đường cao \( AD \) với trực tâm \( H \) nội tiếp đường tròn tâm \( O \).

### a) Kẻ đường kính \( COE \), \( CM \) tứ giác \( AHBE \) là hình gì?

1. **Đường kính \( COE \)**:
- Bởi vì \( O \) là tâm đường tròn mà \( H \) nội tiếp, điểm \( C \) nằm trên đường tròn nên \( COE \) là đường kính của đường tròn này.

2. **Tứ giác \( AHBE \)**:
- Tứ giác này có các đỉnh là \( A, H, B, E \).
- Với \( A \) là chân đường cao từ \( A \) đến \( BC \), \( H \) là trực tâm và \( E \) là một điểm trên đường tròn đường kính \( CO \):
- Từ tính chất của trực tâm, \( AH \perp BC \).
- Do \( O \) là tâm đường tròn nội tiếp nên góc \( AHB + \angle AHE = 90^\circ \).

=> Kết luận: Tứ giác \( AHBE \) là một tứ giác có hai cặp góc đối diện bằng nhau nên được xác định là một tứ giác cyclic (tứ giác trong một đường tròn).

---

### b) Kẻ \( OT \) vuông góc với \( BC \) (gọi \( I \) là điểm thuộc \( BC \)), so sánh \( OI \) với \( OH \)

- **Chiều dài**:
- \( OT \) là đường vuông góc hạ từ \( O \) đến \( BC \) tại điểm \( I \).
- Trong tứ giác \( AHB \) vuông ở \( H \), \( OH \) là đoạn vuông góc hạ từ \( O \) đến đường thẳng \( AB \).

- **So sánh**:
- \( OI \) là khoảng cách từ tâm đường tròn đến đường thẳng \( BC \) và \( OH \) là khoảng cách từ tâm đến điểm trực tâm (cũng được tính đến hai đường cao trong tam giác).
- Do đó, đặc tính của đường tròn nội tiếp và khoảng cách của các điểm đến đường thẳng cho thấy:
- \( OI \leq OH \) (Vì các điểm từ tâm đến đường thẳng khác nhau có chiều dài khác nhau).

---

### c) Đường \( AD \) giao đường tròn tâm \( O \) tại \( K \). Chứng minh tam giác \( BHK \) cân.

1. **Xét tam giác \( BHK \)**:
- Về hình học, khi \( K \) là giao điểm của đường cao \( AD \) với đường tròn tâm \( O \), thì:
- \( AH \) là đường cao từ \( A \) vuông góc với \( BC \).
- Điểm \( K \) nằm trên đường tròn là giao điểm với đường cao, tức là \( HK \) cũng có một tính chất đặc biệt về độ dài và góc.

2. **Chứng minh**:
- Bởi vì \( OH \) là đường cao từ \( O \) xuống \( AH \), và cùng RC \( HK \) hạ từ \( H \) sang \( AD \), nên \( BH = HK \) (do chúng là các cạnh trong tam giác cân đối xứng qua đường thẳng \( AD \)).

3. **Kết luận**:
- Tam giác \( BHK \) là tam giác cân.

---

### d) Kẻ \( KM \parallel BC \). Xác định hình dạng của các tứ giác \( AEMC \), \( BHCM \), \( BKMC \)

1. **Hình dạng của tứ giác**:
- Khi \( KM \parallel BC \):
- Từ định lý về tỉ lệ cạnh của hai tam giác đồng dạng (đường gianh giữa các cặp tương ứng được bảo toàn khi kẻ đường thẳng song song), cả ba tứ giác đều có những tính chất hình học tương tự.

2. **Xét từng tứ giác**:
1. **Tứ giác \( AEMC \)**:
- Do \( KM \parallel BC \), các góc đối diện trong tứ giác \( AEMC \) sẽ tương ứng với nhau về các thứ tự, cho thấy rằng nó là tứ giác cyclic (nằm trong một đường tròn).

2. **Tứ giác \( BHCM \)**:
- Tương tự như vậy, với các góc \( BH \) và \( CM \) tương đương, tứ giác này cũng là cyclic.

3. **Tứ giác \( BKMC \)**:
- Các góc tại \( B \) và \( K \) cũng có những tính chất tương tự với các góc tại \( M \) và \( C \) giúp chúng trở thành một tứ giác cyclic.

### Kết luận:
- Như vậy, ta hoàn thành bốn phần của bài toán với tất cả các đặc điểm hình học của tứ giác và tính chất ba điểm tương ứng.

Nếu bạn cần thêm thông tin hay giải thích chi tiết hơn về từng phần, hãy cho tôi biết nhé!