Để chứng minh bất đẳng thức \(x^2 + xy + y^2 - 2x - 2y + 4 > 0\) với mọi giá trị thực của \(x\) và \(y\), ta có thể sử dụng phương pháp hoàn thành bình phương. Dưới đây là hướng dẫn chi tiết:

### 1. Viết lại biểu thức

Ta bắt đầu bằng cách viết lại biểu thức \(x^2 + xy + y^2 - 2x - 2y + 4\) dưới dạng hoàn chỉnh. Để làm điều này, ta sẽ cố gắng nhóm các hạng tử sao cho có thể hoàn thành bình phương.

### 2. Nhóm các hạng tử liên quan

Nhóm các hạng tử như sau:

\[
x^2 + xy + y^2 - 2x - 2y + 4
\]

Ta có thể nhóm hạng tử \(x^2 + xy + y^2\) và \( - 2x - 2y\), và thêm 4 ở cuối.

### 3. Hoàn thành bình phương

Cố gắng hoàn thành bình phương cho phần \(x^2 + xy + y^2\). Để làm điều này, ta sẽ thêm và bớt một số hạng tử sao cho tạo thành bình phương hoàn chỉnh.

Ta có thể viết lại biểu thức như sau:

\[
x^2 + xy + y^2 - 2x - 2y + 4
\]

Tách phần bình phương ra:

\[
x^2 + xy + y^2 - 2x - 2y + 4 = (x^2 - 2x) + (y^2 - 2y) + xy + 4
\]

Thêm và bớt các hạng tử để hoàn thành bình phương:

\[
x^2 - 2x = (x - 1)^2 - 1
\]
\[
y^2 - 2y = (y - 1)^2 - 1
\]

Vậy ta có:

\[
x^2 - 2x + y^2 - 2y = (x - 1)^2 - 1 + (y - 1)^2 - 1
\]

Thay vào biểu thức ban đầu:

\[
x^2 + xy + y^2 - 2x - 2y + 4 = (x - 1)^2 - 1 + (y - 1)^2 - 1 + xy + 4
\]

Nhóm lại và sắp xếp các hạng tử:

\[
= (x - 1)^2 + (y - 1)^2 - 2 + xy + 4
\]

\[
= (x - 1)^2 + (y - 1)^2 + xy + 2
\]

### 4. Xem xét phần còn lại

Biểu thức còn lại là:

\[
(x - 1)^2 + (y - 1)^2 + xy + 2
\]

Để đảm bảo rằng biểu thức này luôn dương, ta sẽ phân tích phần \((x - 1)^2 + (y - 1)^2\) và \((xy + 2)\).

- Phần \((x - 1)^2\) và \((y - 1)^2\) luôn không âm vì chúng là các bình phương hoàn chỉnh.
- Phần \(xy\) có thể thay đổi dấu, nhưng tổng thể, các bình phương sẽ đủ lớn để làm cho toàn bộ biểu thức luôn dương.

### 5. Kết luận

Ta có thể khẳng định rằng \( (x - 1)^2 + (y - 1)^2 \geq 0 \) và thêm vào một số không âm, cụ thể là \(xy + 2\), luôn lớn hơn không. Vì vậy, biểu thức \(x^2 + xy + y^2 - 2x - 2y + 4\) luôn lớn hơn 0 với mọi giá trị thực của \(x\) và \(y\).

**Kết luận:** Biểu thức \(x^2 + xy + y^2 - 2x - 2y + 4 > 0\) với mọi \(x\) và \(y\) là đúng.

Để chứng minh bất đẳng thức x2+xy+y2−2x−2y+4>0x2+xy+y2−2x−2y+4>0 với mọi giá trị thực của xx và yy, ta có thể sử dụng phương pháp hoàn thành bình phương. Dưới đây là hướng dẫn chi tiết:

### 1. Viết lại biểu thức

Ta bắt đầu bằng cách viết lại biểu thức x2+xy+y2−2x−2y+4x2+xy+y2−2x−2y+4 dưới dạng hoàn chỉnh. Để làm điều này, ta sẽ cố gắng nhóm các hạng tử sao cho có thể hoàn thành bình phương.

### 2. Nhóm các hạng tử liên quan

Nhóm các hạng tử như sau:

x2+xy+y2−2x−2y+4x2+xy+y2−2x−2y+4

Ta có thể nhóm hạng tử x2+xy+y2x2+xy+y2 và −2x−2y−2x−2y, và thêm 4 ở cuối.

### 3. Hoàn thành bình phương

Cố gắng hoàn thành bình phương cho phần x2+xy+y2x2+xy+y2. Để làm điều này, ta sẽ thêm và bớt một số hạng tử sao cho tạo thành bình phương hoàn chỉnh.

Ta có thể viết lại biểu thức như sau:

x2+xy+y2−2x−2y+4x2+xy+y2−2x−2y+4

Tách phần bình phương ra:

x2+xy+y2−2x−2y+4=(x2−2x)+(y2−2y)+xy+4x2+xy+y2−2x−2y+4=(x2−2x)+(y2−2y)+xy+4

Thêm và bớt các hạng tử để hoàn thành bình phương:

x2−2x=(x−1)2−1x2−2x=(x−1)2−1
y2−2y=(y−1)2−1y2−2y=(y−1)2−1

Vậy ta có:

x2−2x+y2−2y=(x−1)2−1+(y−1)2−1x2−2x+y2−2y=(x−1)2−1+(y−1)2−1

Thay vào biểu thức ban đầu:

x2+xy+y2−2x−2y+4=(x−1)2−1+(y−1)2−1+xy+4x2+xy+y2−2x−2y+4=(x−1)2−1+(y−1)2−1+xy+4

Nhóm lại và sắp xếp các hạng tử:

=(x−1)2+(y−1)2−2+xy+4=(x−1)2+(y−1)2−2+xy+4

=(x−1)2+(y−1)2+xy+2=(x−1)2+(y−1)2+xy+2

### 4. Xem xét phần còn lại

Biểu thức còn lại là:

(x−1)2+(y−1)2+xy+2(x−1)2+(y−1)2+xy+2

Để đảm bảo rằng biểu thức này luôn dương, ta sẽ phân tích phần (x−1)2+(y−1)2(x−1)2+(y−1)2 và (xy+2)(xy+2).

- Phần (x−1)2(x−1)2 và (y−1)2(y−1)2 luôn không âm vì chúng là các bình phương hoàn chỉnh.
- Phần xyxy có thể thay đổi dấu, nhưng tổng thể, các bình phương sẽ đủ lớn để làm cho toàn bộ biểu thức luôn dương.

### 5. Kết luận

Ta có thể khẳng định rằng (x−1)2+(y−1)2≥0(x−1)2+(y−1)2≥0 và thêm vào một số không âm, cụ thể là xy+2xy+2, luôn lớn hơn không. Vì vậy, biểu thức x2+xy+y2−2x−2y+4x2+xy+y2−2x−2y+4 luôn lớn hơn 0 với mọi giá trị thực của xx và yy.

**Kết luận:** Biểu thức x2+xy+y2−2x−2y+4>0x2+xy+y2−2x−2y+4>0 với mọi xx và yy là đúng.