Question

Đã trả lời bởi chuyên gia

Answer 1

Để chứng minh bất đẳng thức \( a^2 + b^2 + c^2 \geq a(b + c) \) với mọi số thực \( a, b, c \), chúng ta sẽ sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz.

### Chứng minh:

Bất đẳng thức cần chứng minh là:
\[ a^2 + b^2 + c^2 \geq a(b + c) \]

**Bước 1: Tái cấu trúc bất đẳng thức**

Chúng ta sẽ tái cấu trúc bất đẳng thức để có dạng dễ chứng minh hơn.

\[ a^2 + b^2 + c^2 \geq a(b + c) \]

Chuyển \( a(b + c) \) sang bên trái:

\[ a^2 + b^2 + c^2 - a(b + c) \geq 0 \]

**Bước 2: Sử dụng bất đẳng thức bình phương**

Ta có thể viết lại biểu thức trên như sau:

\[ a^2 + b^2 + c^2 - ab - ac \]

Nhóm các hạng tử:

\[ = a^2 - ab - ac + b^2 + c^2 \]

Để chứng minh bất đẳng thức, chúng ta cần cho biểu thức này không âm. Để làm điều đó, chúng ta có thể sử dụng bất đẳng thức hoàn thành bình phương. Thực hiện một số bước tính toán:

\[ a^2 - ab - ac = a^2 - a(b + c) \]

Chúng ta thêm và trừ \( \frac{(b+c)^2}{4} \):

\[ a^2 - a(b + c) = a^2 - a(b + c) + \frac{(b+c)^2}{4} - \frac{(b+c)^2}{4} \]

\[ = \left(a - \frac{b+c}{2}\right)^2 - \frac{(b+c)^2}{4} \]

Thay vào biểu thức ban đầu:

\[ a^2 - ab - ac + b^2 + c^2 = \left(a - \frac{b+c}{2}\right)^2 - \frac{(b+c)^2}{4} + b^2 + c^2 \]

Nhóm các hạng tử:

\[ = \left(a - \frac{b+c}{2}\right)^2 + b^2 + c^2 - \frac{(b+c)^2}{4} \]

\[ = \left(a - \frac{b+c}{2}\right)^2 + b^2 + c^2 - \frac{b^2 + 2bc + c^2}{4} \]

\[ = \left(a - \frac{b+c}{2}\right)^2 + \frac{4b^2 + 4c^2 - b^2 - 2bc - c^2}{4} \]

\[ = \left(a - \frac{b+c}{2}\right)^2 + \frac{3b^2 - 2bc + 3c^2}{4} \]

**Kết luận:**

Vì \(\left(a - \frac{b+c}{2}\right)^2\) và \(\frac{3b^2 - 2bc + 3c^2}{4}\) đều không âm, biểu thức \(a^2 + b^2 + c^2 - a(b + c)\) luôn lớn hơn hoặc bằng 0 với mọi số thực \(a, b, c\).

Do đó, bất đẳng thức:

\[ a^2 + b^2 + c^2 \geq a(b + c) \]

là đúng với mọi số thực \(a, b, c\).

...Xem thêm

Answer 2

Để chứng minh bất đẳng thức \( a^2 + b^2 + c^2 \geq a(b + c) \) với mọi số thực \( a, b, c \), chúng ta sẽ sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz.

### Chứng minh:

Bất đẳng thức cần chứng minh là:
\[ a^2 + b^2 + c^2 \geq a(b + c) \]

**Bước 1: Tái cấu trúc bất đẳng thức**

Chúng ta sẽ tái cấu trúc bất đẳng thức để có dạng dễ chứng minh hơn.

\[ a^2 + b^2 + c^2 \geq a(b + c) \]

Chuyển \( a(b + c) \) sang bên trái:

\[ a^2 + b^2 + c^2 - a(b + c) \geq 0 \]

**Bước 2: Sử dụng bất đẳng thức bình phương**

Ta có thể viết lại biểu thức trên như sau:

\[ a^2 + b^2 + c^2 - ab - ac \]

Nhóm các hạng tử:

\[ = a^2 - ab - ac + b^2 + c^2 \]

Để chứng minh bất đẳng thức, chúng ta cần cho biểu thức này không âm. Để làm điều đó, chúng ta có thể sử dụng bất đẳng thức hoàn thành bình phương. Thực hiện một số bước tính toán:

\[ a^2 - ab - ac = a^2 - a(b + c) \]

Chúng ta thêm và trừ \( \frac{(b+c)^2}{4} \):

\[ a^2 - a(b + c) = a^2 - a(b + c) + \frac{(b+c)^2}{4} - \frac{(b+c)^2}{4} \]

\[ = \left(a - \frac{b+c}{2}\right)^2 - \frac{(b+c)^2}{4} \]

Thay vào biểu thức ban đầu:

\[ a^2 - ab - ac + b^2 + c^2 = \left(a - \frac{b+c}{2}\right)^2 - \frac{(b+c)^2}{4} + b^2 + c^2 \]

Nhóm các hạng tử:

\[ = \left(a - \frac{b+c}{2}\right)^2 + b^2 + c^2 - \frac{(b+c)^2}{4} \]

\[ = \left(a - \frac{b+c}{2}\right)^2 + b^2 + c^2 - \frac{b^2 + 2bc + c^2}{4} \]

\[ = \left(a - \frac{b+c}{2}\right)^2 + \frac{4b^2 + 4c^2 - b^2 - 2bc - c^2}{4} \]

\[ = \left(a - \frac{b+c}{2}\right)^2 + \frac{3b^2 - 2bc + 3c^2}{4} \]

**Kết luận:**

Vì \(\left(a - \frac{b+c}{2}\right)^2\) và \(\frac{3b^2 - 2bc + 3c^2}{4}\) đều không âm, biểu thức \(a^2 + b^2 + c^2 - a(b + c)\) luôn lớn hơn hoặc bằng 0 với mọi số thực \(a, b, c\).

Do đó, bất đẳng thức:

\[ a^2 + b^2 + c^2 \geq a(b + c) \]

là đúng với mọi số thực \(a, b, c\).

Answer 3

Do đó, bất đẳng thức:

a2+b2+c2≥a(b+c)a2+b2+c2≥a(b+c)

là đúng với mọi số thực a,b,ca,b,c.

2 câu trả lời 270

Câu hỏi hot cùng chủ đề

Bài viết mới nhất Lớp 9