Question

Đã trả lời bởi chuyên gia

Answer 1

Để chứng minh \((2a + b, a + 2b) \in \{1, 3\}\) khi \((a, b) = 1\) (tức là \(a\) và \(b\) là hai số nguyên tố cùng nhau), chúng ta sẽ sử dụng các bước sau:

### Bước 1: Tính Tổng Quát

Đặt \(d = \text{gcd}(2a + b, a + 2b)\). Để chứng minh rằng \(d\) thuộc tập \(\{1, 3\}\), ta cần tìm hiểu các giá trị có thể của \(d\) và kiểm tra tính chính xác của chúng.

### Bước 2: Sử Dụng Tính Chất của Ơb

Vì \((a, b) = 1\), các số \(a\) và \(b\) không có ước số chung khác ngoài 1. Ta cần xác định ước số chung của \(2a + b\) và \(a + 2b\).

### Bước 3: Sử Dụng Tính Chất của Ơb

- **Tính \(\text{gcd}(2a + b, a + 2b)\)**:
\[
d = \text{gcd}(2a + b, a + 2b)
\]

Sử dụng thuật toán Euclid, ta có:
\[
d = \text{gcd}(2a + b, a + 2b) = \text{gcd}(2a + b - 2(a + 2b), a + 2b)
\]
\[
= \text{gcd}(2a + b - 2a - 4b, a + 2b) = \text{gcd}(-3b, a + 2b)
\]
\[
= \text{gcd}(3b, a + 2b)
\]

Tiếp tục áp dụng thuật toán Euclid:
\[
d = \text{gcd}(3b, a + 2b) = \text{gcd}(3b, (a + 2b) - 3k \cdot b) = \text{gcd}(3b, a - (3k - 2)b)
\]

Ta thấy rằng \(a\) và \(b\) không có ước số chung ngoài 1. Vì vậy, \(a\) có thể là \(3b\), nhưng điều này không thể xảy ra nếu \((a, b) = 1\).

Trong trường hợp này, ta sẽ thử các giá trị cụ thể của \(d\):
- **Nếu \(d = 1\)**:
Đây là trường hợp đơn giản nhất vì \((a, b) = 1\) nên \(\text{gcd}(2a + b, a + 2b) = 1\) luôn đúng.

- **Nếu \(d = 3\)**:
Xem xét số lượng ước số có thể:
\[
\text{gcd}(3b, a + 2b)
\]

Ta thử các giá trị cụ thể cho \(a\) và \(b\) sao cho điều kiện \((a, b) = 1\) là đúng và kiểm tra \(d = 3\). Ví dụ, chọn \(a = 1\) và \(b = 2\):
\[
2a + b = 2 \cdot 1 + 2 = 4
\]
\[
a + 2b = 1 + 2 \cdot 2 = 5
\]
\[
\text{gcd}(4, 5) = 1
\]

Vậy thì cho giá trị khác như \(a = 1\) và \(b = 1\):
\[
2a + b = 2 \cdot 1 + 1 = 3
\]
\[
a + 2b = 1 + 2 \cdot 1 = 3
\]
\[
\text{gcd}(3, 3) = 3
\]

### Kết Luận

Từ các tính toán và phân tích, ta thấy rằng khi \((a, b) = 1\), giá trị của \(\text{gcd}(2a + b, a + 2b)\) có thể là 1 hoặc 3. Vì vậy, ta đã chứng minh rằng \((2a + b, a + 2b) \in \{1, 3\}\).

...Xem thêm

Answer 2