Question

Đã trả lời bởi chuyên gia

Answer 1

1- Vì \(AK\) là đường kính của đường tròn \((O; R)\), nên góc \( \angle ABK = 90^\circ\) và \( \angle ACK = 90^\circ\) (theo định lý góc nội tiếp chắn nửa đường tròn là góc vuông).
- Do đó, \(\triangle ABK\) và \(\triangle ACK\) đều là tam giác vuông.

2- Do \(H\) là trực tâm của tam giác \(ABC\), các đường cao \(AD\), \(BE\), \(CF\) cắt nhau tại \(H\).
- Xét tam giác \(ABC\) và tam giác \(AEF\):
- Ta có \(\angle BAC = \angle EAF\) (cùng chắn cung \(\overset{\frown}{EF}\)).
- \(\angle ABC = \angle AEF\) và \(\angle ACB = \angle AFE\).
- Từ đó, tam giác \(AEF\) đồng dạng với tam giác \(ABC\) theo góc - góc - góc (AAA).

- Để chứng minh \(EB\) là tia phân giác của góc \(\angle FED\):
- Ta đã biết \(AEF\) đồng dạng với \(ABC\), nên góc \( \angle EBF = \angle ABC \), điều này chứng tỏ \(EB\) là tia phân giác của góc \(\angle FED\).

3- Do \(M\) là trung điểm của \(BC\) và \(AK\) là đường kính của đường tròn \((O)\), nên \(K\) là điểm đối xứng của \(A\) qua \(O\).
- Theo tính chất của trực tâm, \(H\) đối xứng với \(A\) qua \(M\), và do đó \(K\), \(H\), \(M\) thẳng hàng.

4- Gọi \(O'\) là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác \(AEF\).
- Do \(AEF\) đồng dạng với \(ABC\) và \( \angle AEF + \angle AFH = 180^\circ \), nên \(O'\) nằm trên trục trung trực của \(EF\).
- Từ đó suy ra các điểm \(A\), \(E\), \(H\), \(F\) cùng nằm trên một đường tròn với đường kính là \(AH\).

5- Gọi \(G\) là giao điểm của \(IM\) với \(EF\).
- Do \(I\) là trung điểm của \(AH\) và \(M\) là trung điểm của \(BC\), \(IM\) là đường trung trực của đoạn \(EF\) trong tam giác đồng dạng \(AEF\).

6- Từ tính chất của tam giác đồng dạng \(AEF\) với \(ABC\), ta có \(EF \perp OA\) vì \(OA\) là đường kính.
- Đường tròn ngoại tiếp \(AEF\) có tâm \(O'\) nằm trên trục trung trực của \(EF\), do đó \(OA \perp EF\).
- Do \(M\) là trung điểm của \(BC\) và \(O\) là trung điểm của \(AK\), nên \(\frac{OM}{AH} = \frac{1}{2}\).

...Xem thêm

Answer 2

1- Vì \(AK\) là đường kính của đường tròn \((O; R)\), nên góc \( \angle ABK = 90^\circ\) và \( \angle ACK = 90^\circ\) (theo định lý góc nội tiếp chắn nửa đường tròn là góc vuông).
- Do đó, \(\triangle ABK\) và \(\triangle ACK\) đều là tam giác vuông.

2- Do \(H\) là trực tâm của tam giác \(ABC\), các đường cao \(AD\), \(BE\), \(CF\) cắt nhau tại \(H\).
- Xét tam giác \(ABC\) và tam giác \(AEF\):
- Ta có \(\angle BAC = \angle EAF\) (cùng chắn cung \(\overset{\frown}{EF}\)).
- \(\angle ABC = \angle AEF\) và \(\angle ACB = \angle AFE\).
- Từ đó, tam giác \(AEF\) đồng dạng với tam giác \(ABC\) theo góc - góc - góc (AAA).

- Để chứng minh \(EB\) là tia phân giác của góc \(\angle FED\):
- Ta đã biết \(AEF\) đồng dạng với \(ABC\), nên góc \( \angle EBF = \angle ABC \), điều này chứng tỏ \(EB\) là tia phân giác của góc \(\angle FED\).

3- Do \(M\) là trung điểm của \(BC\) và \(AK\) là đường kính của đường tròn \((O)\), nên \(K\) là điểm đối xứng của \(A\) qua \(O\).
- Theo tính chất của trực tâm, \(H\) đối xứng với \(A\) qua \(M\), và do đó \(K\), \(H\), \(M\) thẳng hàng.

4- Gọi \(O'\) là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác \(AEF\).
- Do \(AEF\) đồng dạng với \(ABC\) và \( \angle AEF + \angle AFH = 180^\circ \), nên \(O'\) nằm trên trục trung trực của \(EF\).
- Từ đó suy ra các điểm \(A\), \(E\), \(H\), \(F\) cùng nằm trên một đường tròn với đường kính là \(AH\).

5- Gọi \(G\) là giao điểm của \(IM\) với \(EF\).
- Do \(I\) là trung điểm của \(AH\) và \(M\) là trung điểm của \(BC\), \(IM\) là đường trung trực của đoạn \(EF\) trong tam giác đồng dạng \(AEF\).

6- Từ tính chất của tam giác đồng dạng \(AEF\) với \(ABC\), ta có \(EF \perp OA\) vì \(OA\) là đường kính.
- Đường tròn ngoại tiếp \(AEF\) có tâm \(O'\) nằm trên trục trung trực của \(EF\), do đó \(OA \perp EF\).
- Do \(M\) là trung điểm của \(BC\) và \(O\) là trung điểm của \(AK\), nên \(\frac{OM}{AH} = \frac{1}{2}\).

Answer 3

Xin chào HOIDAPVIETJACK

2 câu trả lời 668

Câu hỏi hot cùng chủ đề

Bài viết mới nhất Lớp 9