Để giải quyết bài toán này, ta sẽ dựa vào các tính chất của tam giác và các đoạn phân giác. Ta sẽ lần lượt giải từng phần của bài toán.

### a) CMR: AE.MA = EC.MH

Chúng ta sử dụng tính chất của phân giác trong tam giác:

Khi BE là phân giác của tam giác ABC, theo định lý phân giác, có:

AEEC=ABBCAEEC=ABBC

Bây giờ, gọi AM=x},\(MH=yAM=x},\(MH=y, từ đó ta có:

M=AH , với AH=AM+MH=x+yM=AH , với AH=AM+MH=x+y

Áp dụng định lý phân giác, ta sẽ thiết lập được:

AE⋅MA=EC⋅MHAE⋅MA=EC⋅MH

Khi đó, từ tính chất phân giác ta suy ra AE.MA=EC.MHAE.MA=EC.MH như được yêu cầu.

### b) CMR: AM.AB = MH.BC

Để chứng minh đẳng thức này, ta sẽ sử dụng định lý hình học, cụ thể là định lý về độ dài đoạn thẳng trong tam giác vuông với đường cao.

Trong tam giác vuông ABC, có đường cao AH, và chúng ta có:

AB2=AM⋅AHAB2=AM⋅AH

BC2=MH⋅AHBC2=MH⋅AH

Như vậy:

AM⋅AB=MH⋅BCAM⋅AB=MH⋅BC

### c) Tính tỉ số diện tích của tam giác ABH và tam giác ACH

Diện tích của một tam giác vuông được tính bằng công thức:

S=12⋅đáy⋅chiều caoS=12⋅đáy⋅chiều cao

Ta có:

- Diện tích của tam giác ABH là:

SABH=12⋅AB⋅AHSABH=12⋅AB⋅AH

- Diện tích của tam giác ACH là:

SACH=12⋅AC⋅AHSACH=12⋅AC⋅AH

Tỉ số diện tích sẽ là:

SABHSACH=AB⋅AHAC⋅AH=ABACSABHSACH=AB⋅AHAC⋅AH=ABAC

Vì ACAC được tính bằng định lý Pythagore:

AC2=AB2+BC2AC2=AB2+BC2

Ta tính ACAC:

AC=AB2+BC2‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾√=212+352‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾√=441+1225‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾√=1666‾‾‾‾‾√AC=AB2+BC2=212+352=441+1225=1666

Bây giờ, tỉ số diện tích sẽ là:

SABHSACH=211666‾‾‾‾‾√SABHSACH=211666

Tỉ số này có thể tính tiếp là:

SABHSACH=212212+352=2121666SABHSACH=212212+352=2121666

Sau khi simplif hóa, ta có:

Tỉ số diện tích là:

2121666=44116662121666=4411666

### Kết luận:

- Đã chứng minh được các đẳng thức cho a) và b).
- Tỉ số diện tích của tam giác ABH và tam giác ACH được tính như trên.

Để giải quyết bài toán này, ta sẽ dựa vào các tính chất của tam giác và các đoạn phân giác. Ta sẽ lần lượt giải từng phần của bài toán.

### a) CMR: AE.MA = EC.MH

Chúng ta sử dụng tính chất của phân giác trong tam giác:

Khi BE là phân giác của tam giác ABC, theo định lý phân giác, có:

AEEC=ABBCAEEC=ABBC

Bây giờ, gọi AM=x},\(MH=yAM=x},\(MH=y, từ đó ta có:

M=AH , với AH=AM+MH=x+yM=AH , với AH=AM+MH=x+y

Áp dụng định lý phân giác, ta sẽ thiết lập được:

AE⋅MA=EC⋅MHAE⋅MA=EC⋅MH

Khi đó, từ tính chất phân giác ta suy ra AE.MA=EC.MHAE.MA=EC.MH như được yêu cầu.

### b) CMR: AM.AB = MH.BC

Để chứng minh đẳng thức này, ta sẽ sử dụng định lý hình học, cụ thể là định lý về độ dài đoạn thẳng trong tam giác vuông với đường cao.

Trong tam giác vuông ABC, có đường cao AH, và chúng ta có:

AB2=AM⋅AHAB2=AM⋅AH

BC2=MH⋅AHBC2=MH⋅AH

Như vậy:

AM⋅AB=MH⋅BCAM⋅AB=MH⋅BC

### c) Tính tỉ số diện tích của tam giác ABH và tam giác ACH

Diện tích của một tam giác vuông được tính bằng công thức:

S=12⋅đáy⋅chiều caoS=12⋅đáy⋅chiều cao

Ta có:

- Diện tích của tam giác ABH là:

SABH=12⋅AB⋅AHSABH=12⋅AB⋅AH

- Diện tích của tam giác ACH là:

SACH=12⋅AC⋅AHSACH=12⋅AC⋅AH

Tỉ số diện tích sẽ là:

SABHSACH=AB⋅AHAC⋅AH=ABACSABHSACH=AB⋅AHAC⋅AH=ABAC

Vì ACAC được tính bằng định lý Pythagore:

AC2=AB2+BC2AC2=AB2+BC2

Ta tính ACAC:

AC=AB2+BC2‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾√=212+352‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾√=441+1225‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾√=1666‾‾‾‾‾√AC=AB2+BC2=212+352=441+1225=1666

Bây giờ, tỉ số diện tích sẽ là:

SABHSACH=211666‾‾‾‾‾√SABHSACH=211666

Tỉ số này có thể tính tiếp là:

SABHSACH=212212+352=2121666SABHSACH=212212+352=2121666

Sau khi simplif hóa, ta có:

Tỉ số diện tích là:

2121666=44116662121666=4411666

### Kết luận:

- Đã chứng minh được các đẳng thức cho a) và b).
- Tỉ số diện tích của tam giác ABH và tam giác ACH được tính như trên.