Để tìm số nguyên \( x \) sao cho giá trị của \( f(x) = 2x^2 - x + 2 \) chia hết cho giá trị của \( g(x) = x + 1 \), ta cần tìm \( x \) sao cho:

\[
\frac{f(x)}{g(x)} \text{ là một số nguyên}.
\]

Hay nói cách khác, \( f(x) \) phải chia hết cho \( g(x) \), tức là phần dư của phép chia \( f(x) \) cho \( g(x) \) phải bằng 0.

Trước hết, ta thực hiện phép chia đa thức \( f(x) \) cho \( g(x) \):

\[
f(x) = 2x^2 - x + 2
\]
\[
g(x) = x + 1
\]

Ta thực hiện phép chia đa thức như sau:

1. Lấy hệ số bậc cao nhất của \( f(x) \) chia cho hệ số bậc cao nhất của \( g(x) \): \( \frac{2x^2}{x} = 2x \).
2. Nhân \( 2x \) với \( g(x) = x + 1 \), ta được \( 2x \cdot (x + 1) = 2x^2 + 2x \).
3. Trừ \( 2x^2 + 2x \) khỏi \( f(x) \): \( (2x^2 - x + 2) - (2x^2 + 2x) = -3x + 2 \).

Ta tiếp tục chia:

4. Lấy \( -3x \) chia cho \( x \): \( \frac{-3x}{x} = -3 \).
5. Nhân \( -3 \) với \( g(x) = x + 1 \), ta được \( -3 \cdot (x + 1) = -3x - 3 \).
6. Trừ \( -3x - 3 \) khỏi \( -3x + 2 \): \( (-3x + 2) - (-3x - 3) = 5 \).

Vậy \( f(x) = (x + 1)(2x - 3) + 5 \).

Phần dư là \( 5 \). Để \( f(x) \) chia hết cho \( g(x) \), phần dư phải bằng 0, nhưng 5 không bằng 0, điều đó có nghĩa là không có số nguyên nào \( x \) để \( f(x) \) chia hết cho \( g(x) \).

Vậy không tồn tại số nguyên \( x \) nào thỏa mãn yêu cầu đề bài.

Để tìm số nguyên \( x \) sao cho giá trị của hàm \( f(x) = 2x^2 - x + 2 \) chia hết cho giá trị của hàm \( g(x) = x + 1 \), ta cần đảm bảo rằng \( f(x) \) chia hết cho \( g(x) \). Cụ thể, ta cần tìm giá trị của \( x \) sao cho \( f(x) \) chia hết cho \( g(x) \), hay:

\[
f(x) \mod g(x) = 0
\]

### **Bước 1: Thay \( g(x) \) vào \( f(x) \)**

Để \( f(x) \) chia hết cho \( g(x) \), ta sẽ thay \( g(x) = x + 1 \) vào hàm \( f(x) \) và giải bài toán.

Tính toán:

1. **Tính \( f(x) \) khi \( x = -1 \)**

Do \( g(x) = x + 1 \) nên khi \( x = -1 \), \( g(x) = 0 \). Ta thay \( x = -1 \) vào hàm \( f(x) \):

\[
f(-1) = 2(-1)^2 - (-1) + 2
\]

\[
f(-1) = 2 \cdot 1 + 1 + 2
\]

\[
f(-1) = 2 + 1 + 2 = 5
\]

Vậy \( f(-1) = 5 \). Ta cần \( f(x) \) chia hết cho \( x + 1 \), nên \( x + 1 \) phải chia hết cho \( 5 \).

### **Bước 2: Tìm số nguyên \( x \)**

Để \( f(x) \) chia hết cho \( x + 1 \), \( x + 1 \) phải là 1 trong các bội số của 5, tức là \( x + 1 = \pm 1, \pm 5, \pm 10, \ldots \).

Từ đó:

\[
x = -1 \text{ (khi } x + 1 = 0)
\]
\[
x + 1 = 5 \implies x = 4
\]
\[
x + 1 = -5 \implies x = -6
\]

### **Bước 3: Kiểm tra các giá trị \( x \)**

1. **Khi \( x = 4 \)**

\[
f(4) = 2(4)^2 - 4 + 2
\]

\[
f(4) = 2 \cdot 16 - 4 + 2
\]

\[
f(4) = 32 - 4 + 2 = 30
\]

\[
g(4) = 4 + 1 = 5
\]

\[
\frac{f(4)}{g(4)} = \frac{30}{5} = 6
\]

Vậy \( f(4) \) chia hết cho \( g(4) \).

2. **Khi \( x = -6 \)**

\[
f(-6) = 2(-6)^2 - (-6) + 2
\]

\[
f(-6) = 2 \cdot 36 + 6 + 2
\]

\[
f(-6) = 72 + 6 + 2 = 80
\]

\[
g(-6) = -6 + 1 = -5
\]

\[
\frac{f(-6)}{g(-6)} = \frac{80}{-5} = -16
\]

Vậy \( f(-6) \) chia hết cho \( g(-6) \).

### **Kết luận**

Các số nguyên \( x \) sao cho giá trị của \( f(x) \) chia hết cho \( g(x) \) là \( x = 4 \) và \( x = -6 \).

Để tìm \(x\) sao cho giá trị \(f(x) = 2x^2 - x + 2\) chia hết cho \(g(x) = x + 1\), ta cần xét điều kiện \(f(x) \mod g(x) = 0\).

Bắt đầu bằng cách tính \(f(-1)\) (bởi vì \(g(x) = x + 1\) có nghiệm \(x = -1\)):

\[
f(-1) = 2(-1)^2 - (-1) + 2
\]

Tính từng thành phần:

\[
f(-1) = 2 \cdot 1 + 1 + 2 = 2 + 1 + 2 = 5
\]

Ta có \(f(-1) = 5\). Để \(f(x)\) chia hết cho \(g(x) = x + 1\), ta cần \(f(-1)\) chia hết cho \(g(-1)\). Vì \(g(-1) = 0\) và \(f(-1) = 5\), nên điều này không đúng.

### Tìm điều gì đúng

Chúng ta sẽ xét mô-đun của \(f(x)\) cho \(g(x)\) theo cách khác. Để kiểm tra \(f(x) \div g(x)\), ta sử dụng định lý chia đối với đa thức.

Chúng ta cần tìm phần dư của \(f(x)\) khi chia cho \(g(x)\):
\[
f(x) = 2x^2 - x + 2 = (x + 1)Q(x) + R(x)
\]

Vì \(g(x)\) là bậc 1, phần dư \(R(x)\) sẽ là một hằng số. Để tìm hằng số này, ta thay \(x = -1\):

\[
R(-1) = f(-1) = 5
\]

Vậy phần dư \(R(x) = 5\) khi chia cho \(g(x)\).

Để \(f(x)\) chia hết cho \(g(x)\), ta có điều kiện:
\[
R(x) = 0 \implies 5 = 0
\]

Thể hiện rằng không có số nguyên nào \(x\) thỏa mãn điều kiện. Do đó, không có số nguyên \(x\) nào để \(f(x)\) chia hết cho \(g(x)\).

### Kết luận
Không tồn tại số nguyên \(x\) nào sao cho giá trị \(f(x)\) chia hết cho \(g(x)\).