Để tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số \( S(x) = 2x^2 + \frac{0,864}{x} \) trên khoảng \( (0, +\infty) \), ta thực hiện các bước sau:

1. **Tính đạo hàm của hàm số \( S(x) \):**

Đạo hàm của hàm số \( S(x) \) là:
\[
S'(x) = \frac{d}{dx} \left( 2x^2 + \frac{0,864}{x} \right)
\]

Áp dụng quy tắc đạo hàm:
\[
\frac{d}{dx} \left( 2x^2 \right) = 4x
\]
\[
\frac{d}{dx} \left( \frac{0,864}{x} \right) = -\frac{0,864}{x^2}
\]
Vậy:
\[
S'(x) = 4x - \frac{0,864}{x^2}
\]

2. **Tìm điểm cực trị bằng cách giải phương trình \( S'(x) = 0 \):**

Giải phương trình:
\[
4x - \frac{0,864}{x^2} = 0
\]
Nhân cả hai vế với \( x^2 \):
\[
4x^3 = 0,864
\]
\[
x^3 = \frac{0,864}{4} = 0,216
\]
\[
x = \sqrt[3]{0,216} = 0,6
\]

3. **Tính giá trị của hàm số \( S(x) \) tại điểm \( x = 0,6 \):**

Thay \( x = 0,6 \) vào hàm số:
\[
S(0,6) = 2(0,6)^2 + \frac{0,864}{0,6}
\]
Tính giá trị từng phần:
\[
2(0,6)^2 = 2 \times 0,36 = 0,72
\]
\[
\frac{0,864}{0,6} = 1,44
\]
\[
S(0,6) = 0,72 + 1,44 = 2,16
\]

4. **Kiểm tra tính chất của điểm \( x = 0,6 \):**

Để xác định xem điểm này là điểm cực tiểu, ta tính đạo hàm bậc hai:
\[
S''(x) = \frac{d}{dx} \left( 4x - \frac{0,864}{x^2} \right)
\]
\[
S''(x) = 4 + \frac{1,728}{x^3}
\]
Thay \( x = 0,6 \) vào đạo hàm bậc hai:
\[
S''(0,6) = 4 + \frac{1,728}{(0,6)^3}
\]
Tính giá trị:
\[
(0,6)^3 = 0,216
\]
\[
\frac{1,728}{0,216} = 8
\]
\[
S''(0,6) = 4 + 8 = 12 > 0
\]
Vì \( S''(0,6) > 0 \), điểm \( x = 0,6 \) là điểm cực tiểu.

**Kết luận:** Giá trị nhỏ nhất của hàm số \( S(x) = 2x^2 + \frac{0,864}{x} \) trên khoảng \( (0, +\infty) \) là \( 2,16 \), đạt được tại \( x = 0,6 \).

Để tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số \( S(x) = 2x^2 + \frac{0.864}{x} \) trên khoảng \( (0; +\infty) \), ta có thể sử dụng phương pháp tính đạo hàm.

### Bước 1: Tính đạo hàm của \( S(x) \)

Tính đạo hàm \( S'(x) \):

\[
S'(x) = \frac{d}{dx}(2x^2) + \frac{d}{dx}\left(\frac{0.864}{x}\right)
\]

Công thức đạo hàm cho \( \frac{1}{x} \) là \( -\frac{1}{x^2} \), do đó:

\[
S'(x) = 4x - \frac{0.864}{x^2}
\]

### Bước 2: Tìm nghiệm của phương trình đạo hàm

Đặt \( S'(x) = 0 \):

\[
4x - \frac{0.864}{x^2} = 0
\]

Giải phương trình này:

\[
4x = \frac{0.864}{x^2}
\]

Nhân cả hai bên với \( x^2 \) (vì \( x > 0 \)):

\[
4x^3 = 0.864
\]

Từ đó, ta có:

\[
x^3 = \frac{0.864}{4} = 0.216
\]

Lấy căn bậc ba:

\[
x = \sqrt[3]{0.216} = 0.6
\]

### Bước 3: Kiểm tra tính chất của điểm tới hạn

Để xác định xem \( x = 0.6 \) là điểm cực tiểu hay cực đại, ta tính đạo hàm bậc hai \( S''(x) \):

\[
S''(x) = \frac{d}{dx}(4x - \frac{0.864}{x^2}) = 4 + \frac{1.728}{x^3}
\]

Vì \( S''(x) > 0 \) với mọi \( x > 0 \), nên \( S(x) \) có cực tiểu tại \( x = 0.6 \).

### Bước 4: Tính giá trị của \( S(0.6) \)

Cuối cùng, ta tính giá trị của hàm số tại \( x = 0.6 \):

\[
S(0.6) = 2(0.6)^2 + \frac{0.864}{0.6}
\]

Tính từng phần:

\[
2(0.6)^2 = 2 \cdot 0.36 = 0.72
\]
\[
\frac{0.864}{0.6} = 1.44
\]

Do đó:

\[
S(0.6) = 0.72 + 1.44 = 2.16
\]

### Kết luận

Giá trị nhỏ nhất của \( S(x) \) trên khoảng \( (0; +\infty) \) là \( 2.16 \) tại điểm \( x = 0.6 \).