Để tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số \( S(x) = 2x^2 + \frac{0,864}{x} \) trên khoảng \( (0, +\infty) \), chúng ta thực hiện các bước sau:

1. **Tính đạo hàm của hàm số \( S(x) \):**

Đạo hàm của hàm số \( S(x) \) là:
\[
S'(x) = \frac{d}{dx} \left( 2x^2 + \frac{0,864}{x} \right)
\]

Áp dụng quy tắc đạo hàm:
\[
\frac{d}{dx} \left( 2x^2 \right) = 4x
\]
\[
\frac{d}{dx} \left( \frac{0,864}{x} \right) = -\frac{0,864}{x^2}
\]
Vậy:
\[
S'(x) = 4x - \frac{0,864}{x^2}
\]

2. **Tìm điểm cực trị bằng cách giải phương trình \( S'(x) = 0 \):**

Giải phương trình:
\[
4x - \frac{0,864}{x^2} = 0
\]
Nhân cả hai vế với \( x^2 \):
\[
4x^3 = 0,864
\]
\[
x^3 = \frac{0,864}{4} = 0,216
\]
\[
x = \sqrt[3]{0,216} = 0,6
\]

3. **Tính giá trị của hàm số \( S(x) \) tại điểm \( x = 0,6 \):**

Thay \( x = 0,6 \) vào hàm số:
\[
S(0,6) = 2(0,6)^2 + \frac{0,864}{0,6}
\]
Tính giá trị từng phần:
\[
2(0,6)^2 = 2 \times 0,36 = 0,72
\]
\[
\frac{0,864}{0,6} = 1,44
\]
\[
S(0,6) = 0,72 + 1,44 = 2,16
\]

4. **Kiểm tra tính chất của điểm \( x = 0,6 \):**

Để xác định xem điểm này là điểm cực tiểu, ta tính đạo hàm bậc hai:
\[
S''(x) = \frac{d}{dx} \left( 4x - \frac{0,864}{x^2} \right)
\]
\[
S''(x) = 4 + \frac{1,728}{x^3}
\]
Thay \( x = 0,6 \) vào đạo hàm bậc hai:
\[
S''(0,6) = 4 + \frac{1,728}{(0,6)^3}
\]
Tính giá trị:
\[
(0,6)^3 = 0,216
\]
\[
\frac{1,728}{0,216} = 8
\]
\[
S''(0,6) = 4 + 8 = 12 > 0
\]
Vì \( S''(0,6) > 0 \), điểm \( x = 0,6 \) là điểm cực tiểu.

**Kết luận:** Giá trị nhỏ nhất của hàm số \( S(x) = 2x^2 + \frac{0,864}{x} \) trên khoảng \( (0, +\infty) \) là \( 2,16 \), đạt được tại \( x = 0,6 \).

Để tìm giá trị nhỏ nhất (GTNN) của hàm số \( S(x) = 2x^2 + \frac{0,864}{x} \), trước tiên ta cần xác định miền xác định của hàm số. Hàm số này xác định khi \( x > 0 \).

**Bước 1: Tính đạo hàm của \( S(x) \)**

Đạo hàm của \( S(x) \) là:
\[
S'(x) = \frac{d}{dx}(2x^2) + \frac{d}{dx}\left(\frac{0,864}{x}\right)
\]
\[
= 4x - \frac{0,864}{x^2}
\]

**Bước 2: Giải phương trình \( S'(x) = 0 \)**

Để tìm điểm cực trị, ta giải phương trình:
\[
4x - \frac{0,864}{x^2} = 0
\]
\[
4x^3 = 0,864
\]
\[
x^3 = \frac{0,864}{4} = 0,216
\]
\[
x = \sqrt[3]{0,216} = 0,6
\]

**Bước 3: Kiểm tra tính chất của điểm cực trị bằng cách tính đạo hàm bậc hai \( S''(x) \)**

Tính đạo hàm bậc hai:
\[
S''(x) = 4 + \frac{1,728}{x^3}
\]

Vì \( x > 0 \), \( S''(x) > 0 \) cho mọi \( x > 0 \). Điều này cho thấy rằng hàm số \( S(x) \) đồng cực tiểu tại \( x = 0,6 \).

**Bước 4: Tính giá trị của \( S(x) \) tại \( x = 0,6 \)**

Giá trị của \( S(0,6) \) là:
\[
S(0,6) = 2(0,6)^2 + \frac{0,864}{0,6}
\]
\[
= 2(0,36) + \frac{0,864}{0,6}
\]
\[
= 0,72 + 1,44 = 2,16
\]

**Kết luận:**

Giá trị nhỏ nhất của hàm số \( S(x) \) là \( S(0,6) = 2,16 \).

Để tìm giá trị nhỏ nhất (GTNN) của hàm số S(x)=2x2+0,864xS(x)=2x2+0,864x, trước tiên ta cần xác định miền xác định của hàm số. Hàm số này xác định khi x>0x>0.

**Bước 1: Tính đạo hàm của S(x)S(x)**

Đạo hàm của S(x)S(x) là:
S′(x)=ddx(2x2)+ddx(0,864x)S′(x)=ddx(2x2)+ddx(0,864x)
=4x−0,864x2=4x−0,864x2

**Bước 2: Giải phương trình S′(x)=0S′(x)=0**

Để tìm điểm cực trị, ta giải phương trình:
4x−0,864x2=04x−0,864x2=0
4x3=0,8644x3=0,864
x3=0,8644=0,216x3=0,8644=0,216
x=3√0,216=0,6x=0,2163=0,6

**Bước 3: Kiểm tra tính chất của điểm cực trị bằng cách tính đạo hàm bậc hai S′′(x)S″(x)**

Tính đạo hàm bậc hai:
S′′(x)=4+1,728x3S″(x)=4+1,728x3

Vì x>0x>0, S′′(x)>0S″(x)>0 cho mọi x>0x>0. Điều này cho thấy rằng hàm số S(x)S(x) đồng cực tiểu tại x=0,6x=0,6.

**Bước 4: Tính giá trị của S(x)S(x) tại x=0,6x=0,6**

Giá trị của S(0,6)S(0,6) là:
S(0,6)=2(0,6)2+0,8640,6S(0,6)=2(0,6)2+0,8640,6
=2(0,36)+0,8640,6=2(0,36)+0,8640,6
=0,72+1,44=2,16=0,72+1,44=2,16

**Kết luận:**

Giá trị nhỏ nhất của hàm số S(x)S(x) là S(0,6)=2,16S(0,6)=2,16.