Question

Đã trả lời bởi chuyên gia

Answer 1

Để tìm các nghiệm nguyên dương \((x, y)\) thỏa mãn phương trình \(x^4 - x^2y + y^2 = 81001\), ta có thể thực hiện theo các bước sau:

1. **Tìm các giá trị có thể của \(x\) và \(y\):**

- Bắt đầu bằng cách phân tích các giá trị nhỏ của \(x\) và \(y\) để xem chúng có thể thỏa mãn phương trình không.

2. **Kiểm tra giá trị nhỏ của \(x\) và \(y\):**

Xem xét giá trị của \(x\) và \(y\) trong một khoảng nhất định.

- **Thử \(x = 1\):**
\[
x^4 - x^2y + y^2 = 81001 \implies 1 - y + y^2 = 81001 \implies y^2 - y + 1 = 81001
\]
\[
y^2 - y - 81000 = 0
\]

Giải phương trình bậc hai \(y^2 - y - 81000 = 0\) bằng công thức nghiệm:
\[
y = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 4 \cdot 81000}}{2} = \frac{1 \pm \sqrt{324001}}{2}
\]

Tính căn bậc hai:
\[
\sqrt{324001} = 569
\]
\[
y = \frac{1 \pm 569}{2}
\]
\[
y = \frac{570}{2} = 285 \text{ hoặc } y = \frac{-568}{2} = -284
\]
Vì \(y\) phải là nguyên dương, ta có \(y = 285\).

Kiểm tra lại với \(x = 1\) và \(y = 285\):
\[
x^4 - x^2y + y^2 = 1 - 1 \cdot 285 + 285^2
\]
\[
= 1 - 285 + 81225
\]
\[
= 80941
\]
Giá trị không bằng 81001, vì vậy không có nghiệm.

- **Thử \(x = 2\):**
\[
x^4 - x^2y + y^2 = 81001 \implies 16 - 4y + y^2 = 81001 \implies y^2 - 4y + 16 = 81001
\]
\[
y^2 - 4y - 80985 = 0
\]

Giải phương trình bậc hai \(y^2 - 4y - 80985 = 0\):
\[
y = \frac{4 \pm \sqrt{16 + 4 \cdot 80985}}{2} = \frac{4 \pm \sqrt{323964}}{2}
\]

Tính căn bậc hai:
\[
\sqrt{323964} \approx 569 \text{ (như trước đó)}
\]
\[
y = \frac{4 \pm 569}{2}
\]
\[
y = \frac{573}{2} = 286.5 \text{ (không phải số nguyên)}
\]

Vì vậy, không có nghiệm với \(x = 2\).

- **Thử \(x = 3\):**
\[
x^4 - x^2y + y^2 = 81001 \implies 81 - 9y + y^2 = 81001 \implies y^2 - 9y + 81 = 81001
\]
\[
y^2 - 9y - 80920 = 0
\]

Giải phương trình bậc hai \(y^2 - 9y - 80920 = 0\):
\[
y = \frac{9 \pm \sqrt{81 + 4 \cdot 80920}}{2} = \frac{9 \pm \sqrt{323761}}{2}
\]

Tính căn bậc hai:
\[
\sqrt{323761} = 569
\]
\[
y = \frac{9 \pm 569}{2}
\]
\[
y = \frac{578}{2} = 289 \text{ hoặc } y = \frac{-560}{2} = -280
\]
Vì \(y\) phải là nguyên dương, ta có \(y = 289\).

Kiểm tra lại với \(x = 3\) và \(y = 289\):
\[
x^4 - x^2y + y^2 = 81 - 9 \cdot 289 + 289^2
\]
\[
= 81 - 2601 + 83521
\]
\[
= 81001
\]

Nghiệm \((x, y) = (3, 289)\) thỏa mãn phương trình.

**Kết luận:** Nghiệm nguyên dương của phương trình \(x^4 - x^2y + y^2 = 81001\) là \((x, y) = (3, 289)\).

...Xem thêm

Answer 2