Question

Đã trả lời bởi chuyên gia

Answer 1

Để tính giá trị của biểu thức \( B = 5 \cos^2 25^\circ + 5 \cos^2 65^\circ - 2 \sin 15^\circ + 2 \cos 75^\circ - 8 \cos^2 45^\circ \), chúng ta sẽ sử dụng một số công thức lượng giác cơ bản.

**Bước 1: Tính giá trị của \(\cos^2\) và \(\sin\)**

1. **Tính \(\cos^2 45^\circ\)**:
\[
\cos 45^\circ = \frac{1}{\sqrt{2}}
\]
\[
\cos^2 45^\circ = \left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^2 = \frac{1}{2}
\]

2. **Tính \(8 \cos^2 45^\circ\)**:
\[
8 \cos^2 45^\circ = 8 \times \frac{1}{2} = 4
\]

3. **Tính \(\sin 15^\circ\)** và \(\cos 75^\circ\)**:
Sử dụng công thức cộng góc:
\[
\sin 15^\circ = \sin (45^\circ - 30^\circ) = \sin 45^\circ \cos 30^\circ - \cos 45^\circ \sin 30^\circ
\]
\[
\sin 15^\circ = \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{1}{2}
\]
\[
\sin 15^\circ = \frac{\sqrt{3} - 1}{2\sqrt{2}}
\]

\[
\cos 75^\circ = \sin 15^\circ
\]

\[
\cos 75^\circ = \frac{\sqrt{3} - 1}{2\sqrt{2}}
\]

**Bước 2: Tính giá trị của \(5 \cos^2 25^\circ + 5 \cos^2 65^\circ\)**

Sử dụng định lý Pythagoras và công thức bổ sung:
\[
\cos^2 25^\circ + \cos^2 65^\circ = \frac{1}{2}(\cos 50^\circ + 1) + \frac{1}{2}(\cos 130^\circ + 1)
\]
\[
\cos 130^\circ = -\cos 50^\circ
\]
\[
\cos^2 25^\circ + \cos^2 65^\circ = \frac{1}{2}(\cos 50^\circ - \cos 50^\circ) + 1 = 1
\]
\[
5 \cos^2 25^\circ + 5 \cos^2 65^\circ = 5 \times 1 = 5
\]

**Bước 3: Tính giá trị của biểu thức \(B\)**

\[
B = 5 \cos^2 25^\circ + 5 \cos^2 65^\circ - 2 \sin 15^\circ + 2 \cos 75^\circ - 8 \cos^2 45^\circ
\]
\[
B = 5 - 2 \sin 15^\circ + 2 \cos 75^\circ - 4
\]
\[
B = 5 - 2 \cdot \frac{\sqrt{3} - 1}{2\sqrt{2}} + 2 \cdot \frac{\sqrt{3} - 1}{2\sqrt{2}} - 4
\]
\[
B = 5 - 4 = 1
\]

Vậy giá trị của biểu thức \(B\) là \(1\).

...Xem thêm

Answer 2