Question

Đã trả lời bởi chuyên gia

Answer 1

Để chứng minh bất đẳng thức \(\frac{a^2 + b^2}{2} \geq \left(\frac{a + b}{2}\right)^2\), ta có thể làm theo các bước sau:

1. **Mở rộng biểu thức bên phải:**

Tính giá trị của \(\left(\frac{a + b}{2}\right)^2\):
\[
\left(\frac{a + b}{2}\right)^2 = \frac{(a + b)^2}{4}
\]

2. **Mở rộng biểu thức \((a + b)^2\):**

\[
(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2
\]

Do đó,
\[
\frac{(a + b)^2}{4} = \frac{a^2 + 2ab + b^2}{4}
\]

3. **So sánh với biểu thức bên trái:**

Tính giá trị của \(\frac{a^2 + b^2}{2}\):
\[
\frac{a^2 + b^2}{2}
\]

4. **So sánh hai biểu thức:**

Để chứng minh bất đẳng thức, ta cần chỉ ra rằng:
\[
\frac{a^2 + b^2}{2} \geq \frac{a^2 + 2ab + b^2}{4}
\]

Để so sánh, hãy đưa tất cả về một mẫu số chung, trong trường hợp này là 4:
\[
\frac{a^2 + b^2}{2} = \frac{2(a^2 + b^2)}{4}
\]
So sánh với:
\[
\frac{2(a^2 + b^2)}{4} \geq \frac{a^2 + 2ab + b^2}{4}
\]

Điều này tương đương với:
\[
2(a^2 + b^2) \geq a^2 + 2ab + b^2
\]

5. **Rút gọn bất đẳng thức:**

Đưa các số hạng về một bên:
\[
2a^2 + 2b^2 \geq a^2 + 2ab + b^2
\]

Chuyển các số hạng:
\[
2a^2 + 2b^2 - a^2 - b^2 \geq 2ab
\]
\[
a^2 + b^2 \geq 2ab
\]

Đây chính là bất đẳng thức Cauchy-Schwarz hoặc bất đẳng thức bình phương, và nó luôn đúng với mọi giá trị của \(a\) và \(b\).

Vì vậy, bất đẳng thức đã được chứng minh.

...Xem thêm

Answer 2