Để giải bài toán này, chúng ta cần xác định chiều dài (\(l\)) và chiều rộng (\(w\)) của hình chữ nhật, dựa trên các điều kiện cho trước.

### Đề bài

- Nếu tăng cả chiều dài và chiều rộng của hình chữ nhật ban đầu thêm 4 cm, thì diện tích của hình chữ nhật mới sẽ tăng thêm 80 cm² so với diện tích của hình chữ nhật ban đầu.
- Nếu tăng chiều dài lên 5 cm và giảm chiều rộng xuống 2 cm, thì diện tích của hình chữ nhật mới bằng diện tích của hình chữ nhật ban đầu.

### Giải bài toán

1. **Đặt biến và viết phương trình:**

- Gọi chiều dài của hình chữ nhật là \( l \) (cm) và chiều rộng là \( w \) (cm).
- Diện tích của hình chữ nhật ban đầu là \( A = l \cdot w \).

**Điều kiện 1:**

- Nếu tăng cả chiều dài và chiều rộng thêm 4 cm, diện tích mới sẽ là \( (l + 4) \cdot (w + 4) \).
- Diện tích tăng thêm 80 cm² so với diện tích ban đầu:

\[
(l + 4)(w + 4) = l \cdot w + 80
\]

**Điều kiện 2:**

- Nếu tăng chiều dài lên 5 cm và giảm chiều rộng xuống 2 cm, diện tích mới sẽ là \( (l + 5) \cdot (w - 2) \).
- Diện tích của hình chữ nhật mới bằng diện tích ban đầu:

\[
(l + 5)(w - 2) = l \cdot w
\]

2. **Giải phương trình:**

- **Từ điều kiện 1:**

\[
(l + 4)(w + 4) = l \cdot w + 80
\]

Mở rộng và sắp xếp:

\[
l \cdot w + 4l + 4w + 16 = l \cdot w + 80
\]

\[
4l + 4w + 16 = 80
\]

\[
4l + 4w = 64
\]

\[
l + w = 16
\]

- **Từ điều kiện 2:**

\[
(l + 5)(w - 2) = l \cdot w
\]

Mở rộng và sắp xếp:

\[
l \cdot w - 2l + 5w - 10 = l \cdot w
\]

\[
-2l + 5w - 10 = 0
\]

\[
5w - 2l = 10
\]

- **Giải hệ phương trình:**

\[
\begin{cases}
l + w = 16 \\
5w - 2l = 10
\end{cases}
\]

Giải phương trình đầu tiên cho \( l \):

\[
l = 16 - w
\]

Thay vào phương trình thứ hai:

\[
5w - 2(16 - w) = 10
\]

\[
5w - 32 + 2w = 10
\]

\[
7w - 32 = 10
\]

\[
7w = 42
\]

\[
w = 6
\]

Thay giá trị của \( w \) vào phương trình \( l = 16 - w \):

\[
l = 16 - 6
\]

\[
l = 10
\]

### Kết luận

- Chiều dài của hình chữ nhật là \( l = 10 \) cm.
- Chiều rộng của hình chữ nhật là \( w = 6 \) cm.

Để tính chiều dài và chiều rộng của hình chữ nhật, ta có thể thiết lập hệ phương trình dựa trên các điều kiện đã cho:

Gọi chiều dài ban đầu là ( x ) và chiều rộng ban đầu là ( y ).
Theo điều kiện đầu tiên, nếu tăng cả chiều dài và chiều rộng lên 4 cm, diện tích tăng thêm 80 cm²: [ (x + 4)(y + 4) = xy + 80 ] Giải phương trình này ta có: [ xy + 4x + 4y + 16 = xy + 80 \implies 4x + 4y = 64 \implies x + y = 16 \quad (1) ]
Theo điều kiện thứ hai, nếu tăng chiều dài lên 5 cm và giảm chiều rộng xuống 2 cm, diện tích không đổi: [ (x + 5)(y - 2) = xy ] Giải phương trình này ta có: [ xy + 5y - 2x - 10 = xy \implies 5y - 2x = 10 \quad (2) ]
Từ hệ phương trình (1) và (2), ta có: [ \begin{cases} x + y = 16 \ -2x + 5y = 10 \end{cases} ]

Giải hệ phương trình này:

Từ phương trình (1): ( y = 16 - x )
Thay vào phương trình (2): [ -2x + 5(16 - x) = 10 \implies -2x + 80 - 5x = 10 \implies -7x = -70 \implies x = 10 ]
Thay ( x = 10 ) vào phương trình (1): [ 10 + y = 16 \implies y = 6 ]
Vậy chiều dài của hình chữ nhật là 10 cm và chiều rộng là 6 cm