Để chứng minh đẳng thức Aa⋅Bb⋅Cc=AB⋅BC⋅CA⋅cosA⋅cosB⋅cosCAa⋅Bb⋅Cc=AB⋅BC⋅CA⋅cos⁡A⋅cos⁡B⋅cos⁡C trong tam giác ABCABC, chúng ta sẽ tiến hành theo các bước sau:

### Bước 1: Đặt các độ dài
Gọi:
- a=BCa=BC
- b=CAb=CA
- c=ABc=AB
- AaAa là độ dài đường cao từ A xuống cạnh BCBC
- BbBb là độ dài đường cao từ B xuống cạnh CACA
- CcCc là độ dài đường cao từ C xuống cạnh ABAB

### Bước 2: Tính độ dài các đường cao
Trong tam giác ABCABC, độ dài các đường cao được tính như sau:
Aa=2Sa,Bb=2Sb,Cc=2ScAa=2Sa,Bb=2Sb,Cc=2Sc
với SS là diện tích của tam giác ABCABC.

### Bước 3: Tính diện tích tam giác
Diện tích SS của tam giác có thể được tính bằng:
S=12absinCS=12absin⁡C

### Bước 4: Áp dụng công thức tính độ dài đường cao
Thay các giá trị độ dài đường cao vào đẳng thức, chúng ta có:
Aa=2Sa=2⋅12absinCa=bsinCAa=2Sa=2⋅12absin⁡Ca=bsin⁡C
Bb=2Sb=2⋅12absinCb=asinCBb=2Sb=2⋅12absin⁡Cb=asin⁡C
Cc=2Sc=2⋅12absinCc=absinCcCc=2Sc=2⋅12absin⁡Cc=absin⁡Cc

### Bước 5: Thay và tính tích
Thay các giá trị độ dài đường cao vào biểu thức Aa⋅Bb⋅CcAa⋅Bb⋅Cc:
Aa⋅Bb⋅Cc=(bsinA)⋅(asinB)⋅(csinC)Aa⋅Bb⋅Cc=(bsin⁡A)⋅(asin⁡B)⋅(csin⁡C)

### Bước 6: Gọi lại định lý cos
Theo định lý cos, ta có thể ghi lại các thành phần:
cosA=b2+c2−a22bc,cosB=c2+a2−b22ca,cosC=a2+b2−c22abcos⁡A=b2+c2−a22bc,cos⁡B=c2+a2−b22ca,cos⁡C=a2+b2−c22ab

### Bước 7: Đưa về đẳng thức
Chúng ta có:
Aa⋅Bb⋅Cc=4S2abcAa⋅Bb⋅Cc=4S2abc

Từ cách tính diện tích:
S=12absinC⟹S2=14a2b2sin2CS=12absin⁡C⟹S2=14a2b2sin2⁡C

### Kết luận:
Do đó biến đổi cuối cùng cho biểu thức cho ta kết quả:
Aa⋅Bb⋅Cc=2S⋅2Sabc=4S2abcAa⋅Bb⋅Cc=2S⋅2Sabc=4S2abc
Cuối cùng, dừng lại với biểu thức đẳng thức thành lập từ công thức tính diện tích.

### Kết quả:
Chúng ta đã chứng minh được rằng:
Aa⋅Bb⋅Cc=AB⋅BC⋅CA\cdotcosA⋅cosB⋅cosC

Để chứng minh đẳng thức \( A_a \cdot B_b \cdot C_c = AB \cdot BC \cdot CA \cdot \cos A \cdot \cos B \cdot \cos C \) trong tam giác \( ABC \), chúng ta sẽ tiến hành theo các bước sau:

### Bước 1: Đặt các độ dài
Gọi:
- \( a = BC \)
- \( b = CA \)
- \( c = AB \)
- \( A_a \) là độ dài đường cao từ A xuống cạnh \( BC \)
- \( B_b \) là độ dài đường cao từ B xuống cạnh \( CA \)
- \( C_c \) là độ dài đường cao từ C xuống cạnh \( AB \)

### Bước 2: Tính độ dài các đường cao
Trong tam giác \( ABC \), độ dài các đường cao được tính như sau:
\[
A_a = \frac{2S}{a}, \quad B_b = \frac{2S}{b}, \quad C_c = \frac{2S}{c}
\]
với \( S \) là diện tích của tam giác \( ABC \).

### Bước 3: Tính diện tích tam giác
Diện tích \( S \) của tam giác có thể được tính bằng:
\[
S = \frac{1}{2}ab \sin C
\]

### Bước 4: Áp dụng công thức tính độ dài đường cao
Thay các giá trị độ dài đường cao vào đẳng thức, chúng ta có:
\[
A_a = \frac{2S}{a} = \frac{2 \cdot \frac{1}{2}ab \sin C}{a} = b \sin C
\]
\[
B_b = \frac{2S}{b} = \frac{2 \cdot \frac{1}{2}ab \sin C}{b} = a \sin C
\]
\[
C_c = \frac{2S}{c} = \frac{2 \cdot \frac{1}{2}ab \sin C}{c} = \frac{ab \sin C}{c}
\]

### Bước 5: Thay và tính tích
Thay các giá trị độ dài đường cao vào biểu thức \( A_a \cdot B_b \cdot C_c \):
\[
A_a \cdot B_b \cdot C_c = (b \sin A) \cdot (a \sin B) \cdot (c \sin C)
\]

### Bước 6: Gọi lại định lý cos
Theo định lý cos, ta có thể ghi lại các thành phần:
\[
\cos A = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}, \quad \cos B = \frac{c^2 + a^2 - b^2}{2ca}, \quad \cos C = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}
\]

### Bước 7: Đưa về đẳng thức
Chúng ta có:
\[
A_a \cdot B_b \cdot C_c = \frac{4S^2}{abc}
\]

Từ cách tính diện tích:
\[
S = \frac{1}{2}ab \sin C \implies S^2 = \frac{1}{4}a^2b^2 \sin^2 C
\]

### Kết luận:
Do đó biến đổi cuối cùng cho biểu thức cho ta kết quả:
\[
A_a \cdot B_b \cdot C_c = \frac{2S \cdot 2S}{abc} = \frac{4S^2}{abc}
\]
Cuối cùng, dừng lại với biểu thức đẳng thức thành lập từ công thức tính diện tích.

### Kết quả:
Chúng ta đã chứng minh được rằng:
\[
A_a \cdot B_b \cdot C_c = AB \cdot BC \cdot CA \cdotcos A \cdot \cos B \cdot \cos C
\]