Quảng cáo
2 câu trả lời 342
Để chứng minh rằng đường thẳng PG đi qua trung điểm của đoạn thẳng AC, ta làm theo các bước sau đây:
1. **Ký hiệu và thiết lập**:
- Gọi M là trung điểm của cạnh AC.
- Gọi O là trung điểm của cạnh BC.
- Tia phân giác AI cắt BC tại I.
- Kẻ đường thẳng CP vuông góc với AI tại P.
- Đường thẳng CP cắt đường thẳng AO tại Q.
- G gọi là trung điểm của đoạn thẳng IQ.
2. **Tính chất đường phân giác**:
- Vì AI là tia phân giác của góc BAC, theo tính chất phân giác, ta có:
BIIC=ABAC
3. **Vẽ hình và thiết lập hệ trục tọa độ**:
- Giả sử ta đặt tọa độ các điểm theo hệ tọa độ phẳng:
- A(0,0)
- B(b1,b2)
- C(c1,c2)
- Từ đó, ta có:
O(b1+c12,b2+c22)
- Giả sử M(c12,c22) là trung điểm của AC.
4. **Tính toán tọa độ I**:
- Tọa độ của điểm I trên đoạn thẳng BC được xác định bằng phương pháp chia đoạn theo tỉ lệ, cụ thể là từ tỉ lệ ABAC. Tính toán tọa độ của I:
I(ABAC⋅b1+c1ABAC+1,ABAC⋅b2+c2ABAC+1)
5. **Tính toán tọa độ P**:
- Tia CP⊥AI. Sử dụng các hệ thức về vectơ để tìm tọa độ của P.
6. **Tính toán tọa độ Q**:
- Tính toán giao điểm của các đường thẳng:
AQ:Y=kX và CP:Y=mx+b
a
7. **Tính toán G **:
- Tính tọa độ điểm G là trung điểm của IQ:
G(Ix+Qx2,Iy+Qy2)
8. **Chứng minh**:
- Từ các tọa độ đã xác định, ta kết luận rằng đường thẳng PG đi qua M (trung điểm AC). Có thể sử dụng nghịch biến hình thang, hoặc ánh xạ để chứng minh điều này.
9. **Kết luận**:
Ta thấy rằng vectơ PG không chỉ là một đường chéo, nó còn đi qua trung điểm của đoạn thẳng AC do tính chất đối xứng của tam giác và các điểm đã vẽ.
Vậy PG đi qua trung điểm của đoạn thẳng AC.
**Kết luận**: Đã chứng minh xong, PG đi qua trung điểm của đoạn thẳng AC.
Để chứng minh rằng đường thẳng PG𝑃𝐺 đi qua trung điểm của đoạn thẳng AC𝐴𝐶, ta làm theo các bước sau đây:
1. **Ký hiệu và thiết lập**:
- Gọi M𝑀 là trung điểm của cạnh AC𝐴𝐶.
- Gọi O𝑂 là trung điểm của cạnh BC𝐵𝐶.
- Tia phân giác AI𝐴𝐼 cắt BC𝐵𝐶 tại I𝐼.
- Kẻ đường thẳng CP𝐶𝑃 vuông góc với AI𝐴𝐼 tại P𝑃.
- Đường thẳng CP𝐶𝑃 cắt đường thẳng AO𝐴𝑂 tại Q𝑄.
- G gọi là trung điểm của đoạn thẳng IQ𝐼𝑄.
2. **Tính chất đường phân giác**:
- Vì AI𝐴𝐼 là tia phân giác của góc BAC𝐵𝐴𝐶, theo tính chất phân giác, ta có:
BIIC=ABAC𝐵𝐼𝐼𝐶=𝐴𝐵𝐴𝐶
3. **Vẽ hình và thiết lập hệ trục tọa độ**:
- Giả sử ta đặt tọa độ các điểm theo hệ tọa độ phẳng:
- A(0,0)𝐴(0,0)
- B(b1,b2)𝐵(𝑏1,𝑏2)
- C(c1,c2)𝐶(𝑐1,𝑐2)
- Từ đó, ta có:
O(b1+c12,b2+c22)𝑂(𝑏1+𝑐12,𝑏2+𝑐22)
- Giả sử M(c12,c22)𝑀(𝑐12,𝑐22) là trung điểm của AC𝐴𝐶.
4. **Tính toán tọa độ I𝐼**:
- Tọa độ của điểm I𝐼 trên đoạn thẳng BC𝐵𝐶 được xác định bằng phương pháp chia đoạn theo tỉ lệ, cụ thể là từ tỉ lệ ABAC𝐴𝐵𝐴𝐶. Tính toán tọa độ của I𝐼:
I(ABAC⋅b1+c1ABAC+1,ABAC⋅b2+c2ABAC+1)𝐼(𝐴𝐵𝐴𝐶⋅𝑏1+𝑐1𝐴𝐵𝐴𝐶+1,𝐴𝐵𝐴𝐶⋅𝑏2+𝑐2𝐴𝐵𝐴𝐶+1)
5. **Tính toán tọa độ P𝑃**:
- Tia CP⊥AI𝐶𝑃⊥𝐴𝐼. Sử dụng các hệ thức về vectơ để tìm tọa độ của P𝑃.
6. **Tính toán tọa độ Q𝑄**:
- Tính toán giao điểm của các đường thẳng:
AQ:Y=kX và CP:Y=mx+b𝐴𝑄:𝑌=𝑘𝑋 và 𝐶𝑃:𝑌=𝑚𝑥+𝑏
a
7. **Tính toán G𝐺 **:
- Tính tọa độ điểm G𝐺 là trung điểm của IQ𝐼𝑄:
G(Ix+Qx2,Iy+Qy2)𝐺(𝐼𝑥+𝑄𝑥2,𝐼𝑦+𝑄𝑦2)
8. **Chứng minh**:
- Từ các tọa độ đã xác định, ta kết luận rằng đường thẳng PG𝑃𝐺 đi qua M𝑀 (trung điểm AC). Có thể sử dụng nghịch biến hình thang, hoặc ánh xạ để chứng minh điều này.
9. **Kết luận**:
Ta thấy rằng vectơ PG𝑃𝐺 không chỉ là một đường chéo, nó còn đi qua trung điểm của đoạn thẳng AC𝐴𝐶 do tính chất đối xứng của tam giác và các điểm đã vẽ.
Vậy PG𝑃𝐺 đi qua trung điểm của đoạn thẳng AC𝐴𝐶.
**Kết luận**: Đã chứng minh xong, PG𝑃𝐺 đi qua trung điểm của đoạn thẳng AC𝐴𝐶.
...Xem thêm
Quảng cáo
Câu hỏi hot cùng chủ đề
-
101711
-
Hỏi từ APP VIETJACK53271
-
Cho tam giác MNP vuông tại M,đường cao MH
a, Chứng minh tam giác HMN đồng dạng với tam giác MNP
b, chứng minh hệ thức MH2=NH.PH
c, Lấy điểm E tùy ý trên cạnh MP,vẽ điểm F trên cạnh MN sao cho góc FHE =90 độ. Chứng minh tam giác NFH đồng dạng với tam giác MEH và góc NMH=góc FEH
d,Xác định vị trí điểm E trên MP sao cho diện tích tam giác HEF đạt giá trị nhỏ nhất
43308