Để giải hệ phương trình cho từng bài toán, chúng ta sẽ áp dụng phương pháp đổi biến để giải quyết từng hệ phương trình.

**Bài 1:**

Hệ phương trình ban đầu:
\[ \begin{cases}
\frac{2}{x-2} + \frac{1}{y+1} = 3 \\
\frac{4}{x-2} - \frac{3}{y+1} = 1
\end{cases} \]

Đặt \( u = x - 2 \) và \( v = y + 1 \), ta có hệ phương trình mới:
\[ \begin{cases}
\frac{2}{u} + \frac{1}{v} = 3 \\
\frac{4}{u} - \frac{3}{v} = 1
\end{cases} \]

Giải hệ phương trình này:

1. Từ phương trình thứ nhất:
\[ \frac{2}{u} + \frac{1}{v} = 3 \]
Nhân cả hai vế với \( uv \) để loại bỏ mẫu số:
\[ 2v + u = 3uv \]
\( \Rightarrow 2v + u - 3uv = 0 \quad (1) \)

2. Từ phương trình thứ hai:
\[ \frac{4}{u} - \frac{3}{v} = 1 \]
Nhân cả hai vế với \( uv \) để loại bỏ mẫu số:
\[ 4v - 3u = uv \]
\( \Rightarrow 4v - 3u - uv = 0 \quad (2) \)

3. Giải hệ phương trình (1) và (2):
- Từ (1): \( u = \frac{2v}{3v - 1} \)
- Thay vào (2):
\[ 4v - 3 \left( \frac{2v}{3v - 1} \right) - v \left( \frac{2v}{3v - 1} \right) = 0 \]

Giải phương trình trên để tìm \( v \). Sau khi giải, ta được \( v = 1 \).

4. Tính lại \( u \):
\[ u = \frac{2 \cdot 1}{3 \cdot 1 - 1} = \frac{2}{2} = 1 \]

5. Từ \( u = x - 2 \) và \( v = y + 1 \):
\[ x = u + 2 = 1 + 2 = 3 \]
\[ y = v - 1 = 1 - 1 = 0 \]

Vậy, nghiệm của hệ phương trình là \( (x, y) = (3, 0) \).

**Bài 2:**

Hệ phương trình ban đầu:
\[ \begin{cases}
\frac{1}{x-1} + \frac{2}{y+3} = 7 \\
\frac{3}{x-1} + \frac{4}{y+3} = 1
\end{cases} \]

Đặt \( u = x - 1 \) và \( v = y + 3 \), ta có hệ phương trình mới:
\[ \begin{cases}
\frac{1}{u} + \frac{2}{v} = 7 \\
\frac{3}{u} + \frac{4}{v} = 1
\end{cases} \]

Giải hệ phương trình này:

1. Từ phương trình thứ nhất:
\[ \frac{1}{u} + \frac{2}{v} = 7 \]
Nhân cả hai vế với \( uv \) để loại bỏ mẫu số:
\[ v + 2u = 7uv \]
\( \Rightarrow v + 2u - 7uv = 0 \quad (3) \)

2. Từ phương trình thứ hai:
\[ \frac{3}{u} + \frac{4}{v} = 1 \]
Nhân cả hai vế với \( uv \) để loại bỏ mẫu số:
\[ 3v + 4u = uv \]
\( \Rightarrow 3v + 4u - uv = 0 \quad (4) \)

3. Giải hệ phương trình (3) và (4):
- Từ (3): \( v = \frac{2u}{7u - 1} \)
- Thay vào (4):
\[ 3 \left( \frac{2u}{7u - 1} \right) + 4u - u \left( \frac{2u}{7u - 1} \right) = 0 \]

Giải phương trình trên để tìm \( u \). Sau khi giải, ta được \( u = 1 \).

4. Tính lại \( v \):
\[ v = \frac{2 \cdot 1}{7 \cdot 1 - 1} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3} \]

5. Từ \( u = x - 1 \) và \( v = y + 3 \):
\[ x = u + 1 = 1 + 1 = 2 \]
\[ y = v - 3 = \frac{1}{3} - 3 = -\frac{8}{3} \]

Vậy, nghiệm của hệ phương trình là \( (x, y) = (2, -\frac{8}{3}) \).