Để giải quyết yêu cầu của bài toán, chúng ta sẽ phân tích từng phần một.

### a. Chứng minh tứ giác ABDC là hình bình hành

**Chứng minh:**

1. Gọi \( I \) là trung điểm của cạnh \( BC \). Từ định nghĩa, ta có:
\[
BI = IC
\]

2. Theo yêu cầu bài toán, \( D \) được chọn trên tia đối của tia \( IA \) như vậy \( ID = IA \). Do đó, \( I, A, D \) nằm trên một đường thẳng và \( ID = IA \).

3. Ta sẽ chứng minh rằng các đoạn thẳng \( AB \) và \( CD \) song song và bằng nhau, tức là cần chứng minh \( AB \parallel CD \) và \( AB = CD \).

4. Xét hai cạnh \( AB \) và \( CD \):
- Hai vector từ \( I \) đến các điểm \( A \) và \( D \):
- \( \overrightarrow{IA} = \overrightarrow{A} - \overrightarrow{I} \)
- \( \overrightarrow{ID} = \overrightarrow{D} - \overrightarrow{I} \)

5. Vì \( ID = IA \) nên \( \lVert \overrightarrow{ID} \rVert = \lVert \overrightarrow{IA} \rVert \).

6. Hơn nữa, \( D \) nằm trên tia đối của tia \( IA \) nên:
\[
\overrightarrow{ID} = -\overrightarrow{IA}
\]

7. Từ đó, ta có:
\[
\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{B} - \overrightarrow{A} = \overrightarrow{B} - \left(\overrightarrow{I} + \overrightarrow{IA}\right) \quad \text{(bằng cách sử dụng tọa độ)}
\]
\[
\overrightarrow{CD} = \overrightarrow{D} - \overrightarrow{C} = \left(\overrightarrow{I} - \overrightarrow{IA}\right) - \overrightarrow{C} \quad \text{(tương tự)}
\]

8. Do đó, từ những điều trên, ta có:
- \( AB = CD \) do \( \lVert \overrightarrow{AB} \rVert = \lVert \overrightarrow{CD} \rVert \)
- \( AB \parallel CD \)

9. Vậy, tứ giác \( ABDC \) có hai cặp cạnh đối bằng nhau và song song, từ đó suy ra tứ giác \( ABDC \) là hình bình hành.

### b. Điều kiện để tứ giác ABDC là hình chữ nhật và hình thoi

**1. Hình chữ nhật:**

- Tứ giác \( ABDC \) là hình chữ nhật nếu và chỉ nếu hai đường chéo \( AC \) và \( BD \) vuông góc với nhau.
- Từ tính chất trung điểm \( I \), ta có \( A, B, C, D \) phải thỏa mãn điều kiện:
\[
\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = 0
\]
- Với các điểm cụ thể, điều này có thể được đảm bảo nếu:
\[
\text{góc } A = 90^\circ
\]
- Nói cách khác, phương trình của đường chéo \( AC \) và \( BD \) phải vuông góc tại \( I \).

**2. Hình thoi:**

- Tứ giác \( ABDC \) là hình thoi nếu tất cả các cạnh đều bằng nhau:
- Điều này có nghĩa là phải có:
\[
AB = AD = BC = CD
\]
- Trong trường hợp này, cần có:
\[
\text{Góc } A = \text{góc } B = \text{góc } C = \text{góc } D = 60^\circ \text{ hoặc } 120^\circ
\]
- Nghĩa là ba điểm \( A, B, C \) và vị trí của \( D \) cần đặt sao cho độ dài các cạnh đều đồng nhất.

### Kết luận:

- Tứ giác \( ABDC \) là hình bình hành bằng chứng trên.
- Điều kiện để tứ giác này là hình chữ nhật là hai đường chéo \( AC \) và \( BD \) phải vuông góc với nhau.
- Điều kiện để tứ giác này là hình thoi là tất cả các cạnh đều bằng nhau.