Để giải bài toán này, chúng ta cần tìm các giá trị của tham số \( m \) sao cho các điểm cực trị của hàm số \( y = 4x^3 + mx^2 - 3x \) thỏa mãn điều kiện \( x_1 + 4x_2 = 0 \), với \( x_1 \) và \( x_2 \) là các điểm cực trị.

**Bước 1: Tìm các điểm cực trị của hàm số.**

Đầu tiên, ta tính đạo hàm bậc nhất của hàm số:
\[
y' = 12x^2 + 2mx - 3
\]

Để tìm các điểm cực trị, ta giải phương trình \( y' = 0 \):
\[
12x^2 + 2mx - 3 = 0
\]

Phương trình này là phương trình bậc hai với các hệ số \( a = 12 \), \( b = 2m \), và \( c = -3 \).

**Bước 2: Giải phương trình bậc hai.**

Sử dụng công thức nghiệm của phương trình bậc hai \( ax^2 + bx + c = 0 \):
\[
x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
\]

Thay các hệ số vào công thức:
\[
x_{1,2} = \frac{-2m \pm \sqrt{(2m)^2 - 4 \cdot 12 \cdot (-3)}}{2 \cdot 12}
\]
\[
x_{1,2} = \frac{-2m \pm \sqrt{4m^2 + 144}}{24}
\]
\[
x_{1,2} = \frac{-2m \pm 2\sqrt{m^2 + 36}}{24}
\]
\[
x_{1,2} = \frac{-m \pm \sqrt{m^2 + 36}}{12}
\]

Do đó, các điểm cực trị là:
\[
x_1 = \frac{-m + \sqrt{m^2 + 36}}{12}
\]
\[
x_2 = \frac{-m - \sqrt{m^2 + 36}}{12}
\]

**Bước 3: Áp dụng điều kiện \( x_1 + 4x_2 = 0 \).**

Tính \( x_1 + 4x_2 \):
\[
x_1 + 4x_2 = \frac{-m + \sqrt{m^2 + 36}}{12} + 4 \cdot \frac{-m - \sqrt{m^2 + 36}}{12}
\]
\[
x_1 + 4x_2 = \frac{-m + \sqrt{m^2 + 36} - 4m - 4\sqrt{m^2 + 36}}{12}
\]
\[
x_1 + 4x_2 = \frac{-5m - 3\sqrt{m^2 + 36}}{12}
\]

Theo điều kiện, ta có:
\[
\frac{-5m - 3\sqrt{m^2 + 36}}{12} = 0
\]
\[
-5m - 3\sqrt{m^2 + 36} = 0
\]
\[
3\sqrt{m^2 + 36} = -5m
\]
\[
\sqrt{m^2 + 36} = -\frac{5m}{3}
\]

Bình phương hai vế:
\[
m^2 + 36 = \left(-\frac{5m}{3}\right)^2
\]
\[
m^2 + 36 = \frac{25m^2}{9}
\]
\[
9(m^2 + 36) = 25m^2
\]
\[
9m^2 + 324 = 25m^2
\]
\[
324 = 16m^2
\]
\[
m^2 = \frac{324}{16}
\]
\[
m^2 = 20.25
\]
\[
m = \pm \sqrt{20.25}
\]
\[
m = \pm 4.5
\]

Vậy các giá trị thực của tham số \( m \) là \( m = 4.5 \) và \( m = -4.5 \).

**Lý do tại sao điều kiện \( m \leq 0 \) lại làm mất một nghiệm:**

- Khi giải phương trình \( \sqrt{m^2 + 36} = -\frac{5m}{3} \), ta yêu cầu \(-\frac{5m}{3} \geq 0\) (vì căn bậc hai không thể âm), do đó \( m \leq 0 \).
- Khi áp dụng điều kiện này, chỉ có \( m = -4.5 \) thỏa mãn, còn \( m = 4.5 \) không thỏa mãn điều kiện \( m \leq 0 \).

Do đó, giá trị \( m = 4.5 \) không được chấp nhận trong bài toán với điều kiện \( m \leq 0 \).

Để giải bài toán này, ta sẽ tìm hiểu cách tìm các điều kiện cho tham số \( m \) sao cho các điểm cực trị \( x_1 \) và \( x_2 \) của hàm số \( y = 4x^3 + mx^2 - 3x \) thỏa mãn điều kiện \( x_1 + 4x_2 = 0 \).

### Bước 1: Tính đạo hàm và tìm điểm cực trị

Hàm số có dạng:
\[
y = 4x^3 + mx^2 - 3x
\]

Ta tính đạo hàm:
\[
y' = 12x^2 + 2mx - 3
\]

Điểm cực trị xảy ra khi \( y' = 0 \):
\[
12x^2 + 2mx - 3 = 0
\]

### Bước 2: Sử dụng điều kiện \( x_1 + 4x_2 = 0 \)

Gọi hai nghiệm của phương trình bậc hai này là \( x_1 \) và \( x_2 \). Theo điều kiện đề bài, có thể viết lại điều kiện này như sau:
\[
x_1 + 4x_2 = 0 \implies x_1 = -4x_2
\]

### Bước 3: Áp dụng định lý Viète

Áp dụng định lý Viète cho phương trình bậc hai \( 12x^2 + 2mx - 3 = 0 \):
- Tổng hai nghiệm \( x_1 + x_2 = -\frac{m}{6} \)
- Tích hai nghiệm \( x_1 x_2 = -\frac{1}{4} \)

Do \( x_1 = -4x_2 \), ta có:
\[
x_1 + x_2 = -4x_2 + x_2 = -3x_2
\]
Từ đó, có:
\[
-3x_2 = -\frac{m}{6} \implies x_2 = \frac{m}{18}
\]

### Bước 4: Tìm \( x_1 x_2 \)

Tính tích hai nghiệm:
\[
x_1 x_2 = -4x_2^2
\]
Theo định lý Viète, ta có:
\[
-4x_2^2 = -\frac{1}{4} \implies 4x_2^2 = \frac{1}{4} \implies x_2^2 = \frac{1}{16} \implies x_2 = \frac{1}{4} \text{ hoặc } x_2 = -\frac{1}{4}
\]

### Bước 5: Tìm các giá trị của \( m \)

Khi \( x_2 = \frac{m}{18} = \frac{1}{4} \):
\[
m = \frac{1}{4} \cdot 18 = \frac{9}{2}
\]

Khi \( x_2 = -\frac{1}{4} \):
\[
m = -\frac{1}{4} \cdot 18 = -\frac{9}{2}
\]

### Bước 6: Tính điều kiện delta

Tính điều kiện để phương trình bậc hai có nghiệm:
\[
\Delta = b^2 - 4ac = (2m)^2 - 4 \cdot 12 \cdot (-3) = 4m^2 + 144
\]

### Kết luận

- Suy ra từ yêu cầu bài toán và các bước trên, các giá trị thực của tham số \( m \) để hàm số có hai điểm cực trị \( x_1 \) và \( x_2 \) thỏa mãn điều kiện \( x_1 + 4x_2 = 0 \) là \( m = \frac{9}{2} \) và \( m = -\frac{9}{2} \).
- Trong quá trình kiểm tra bằng delta, bạn đã tìm thấy điều kiện \( m \) tự nhiên, thỏa mãn là \( m \leq 0 \), nhưng điều đó không làm mất đi nghiệm \( m = \frac{9}{2} \).

Vì vậy, bạn có hai nghiệm cho \( m \) như trên, và không bị mất đi khi kiểm tra delta.