Cho tứ giác \(ABCD\) với các tam giác vuông cân được dựng ra phía ngoài tứ giác \(ABCD\), với các tam giác vuông cân có đỉnh \(E, F, G, H\) tương ứng:

- \( \triangle EAB \) vuông cân tại \(E\)
- \( \triangle FBC \) vuông cân tại \(F\)
- \( \triangle GDC \) vuông cân tại \(G\)
- \( \triangle HAB \) vuông cân tại \(H\)

Ta cần chứng minh rằng \(EG \perp HF\).

Đầu tiên, ta xét tam giác vuông cân \( \triangle EAB \) có góc \( \angle EAB = 45^\circ \) và \( \angle EBA = 45^\circ \). Tương tự, các góc trong các tam giác vuông cân còn lại cũng có các góc \(45^\circ\).

1. Xét góc quay khi đi từ \(A\) đến \(B\) rồi đến \(E\):
- \(\angle EAB = 45^\circ\) (quay ngược chiều kim đồng hồ).

2. Tương tự, xét góc quay khi đi từ \(B\) đến \(C\) rồi đến \(F\):
- \(\angle FBC = 45^\circ\) (quay ngược chiều kim đồng hồ).

3. Tiếp tục xét góc quay khi đi từ \(C\) đến \(D\) rồi đến \(G\):
- \(\angle GDC = 45^\circ\) (quay ngược chiều kim đồng hồ).

4. Cuối cùng, xét góc quay khi đi từ \(D\) đến \(A\) rồi đến \(H\):
- \(\angle HAD = 45^\circ\) (quay ngược chiều kim đồng hồ).

Do đó, ta thấy rằng mỗi đỉnh \(E, F, G, H\) đều quay ngược chiều kim đồng hồ \(45^\circ\) quanh đỉnh của tứ giác. Vì các góc này đều là \(45^\circ\), tức là chúng hợp nhau lại tạo thành góc \(180^\circ\). Vậy:

\[
\angle EAG + \angle GCD = 45^\circ + 45^\circ = 90^\circ
\]

Tương tự, với các góc còn lại ta có:

\[
\angle EAB + \angle HDA = 90^\circ
\]

Suy ra các tam giác \( \triangle EAG \) và \( \triangle HDF \) quay một góc tổng là \(90^\circ\). Do đó, hai đường thẳng \(EG\) và \(HF\) sẽ vuông góc với nhau.

Như vậy, ta đã chứng minh được rằng \(EG \perp HF\).