Cho tứ giác \(ABCD\) với các tam giác vuông cân được dựng ra phía ngoài tứ giác \(ABCD\), với các tam giác vuông cân có đỉnh \(E, F, G, H\) tương ứng:

- \( \triangle EAB \) vuông cân tại \(E\)
- \( \triangle FBC \) vuông cân tại \(F\)
- \( \triangle GDC \) vuông cân tại \(G\)
- \( \triangle HAB \) vuông cân tại \(H\)

Ta cần chứng minh rằng \(EG \perp HF\).

Đầu tiên, ta xét tam giác vuông cân \( \triangle EAB \) có góc \( \angle EAB = 45^\circ \) và \( \angle EBA = 45^\circ \). Tương tự, các góc trong các tam giác vuông cân còn lại cũng có các góc \(45^\circ\).

1. Xét góc quay khi đi từ \(A\) đến \(B\) rồi đến \(E\):
- \(\angle EAB = 45^\circ\) (quay ngược chiều kim đồng hồ).

2. Tương tự, xét góc quay khi đi từ \(B\) đến \(C\) rồi đến \(F\):
- \(\angle FBC = 45^\circ\) (quay ngược chiều kim đồng hồ).

3. Tiếp tục xét góc quay khi đi từ \(C\) đến \(D\) rồi đến \(G\):
- \(\angle GDC = 45^\circ\) (quay ngược chiều kim đồng hồ).

4. Cuối cùng, xét góc quay khi đi từ \(D\) đến \(A\) rồi đến \(H\):
- \(\angle HAD = 45^\circ\) (quay ngược chiều kim đồng hồ).

Do đó, ta thấy rằng mỗi đỉnh \(E, F, G, H\) đều quay ngược chiều kim đồng hồ \(45^\circ\) quanh đỉnh của tứ giác. Vì các góc này đều là \(45^\circ\), tức là chúng hợp nhau lại tạo thành góc \(180^\circ\). Vậy:

\[
\angle EAG + \angle GCD = 45^\circ + 45^\circ = 90^\circ
\]

Tương tự, với các góc còn lại ta có:

\[
\angle EAB + \angle HDA = 90^\circ
\]

Suy ra các tam giác \( \triangle EAG \) và \( \triangle HDF \) quay một góc tổng là \(90^\circ\). Do đó, hai đường thẳng \(EG\) và \(HF\) sẽ vuông góc với nhau.

Như vậy, ta đã chứng minh được rằng \(EG \perp HF\).

Bước 1: Dựng các đường trung bình của tứ giác

Gọi $M, N, P, Q$ lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng $AB, BC, CD, DA$.
Trong $\triangle ABC$, có $M, N$ lần lượt là trung điểm của $AB, BC$

$\Rightarrow MN$ là đường trung bình của $\triangle ABC \Rightarrow MN \parallel AC$ và $MN = \frac{1}{2}AC$.
Trong $\triangle ADC$, có $P, Q$ lần lượt là trung điểm của $CD, DA$

$\Rightarrow PQ$ là đường trung bình của $\triangle ADC \Rightarrow PQ \parallel AC$ và $PQ = \frac{1}{2}AC$.
Từ đó suy ra: $MN \parallel PQ$ và $MN = PQ$.
Tứ giác $MNPQ$ có một cặp cạnh đối song song và bằng nhau nên $MNPQ$ là hình bình hành.

$\Rightarrow \widehat{MNP} + \widehat{NPQ} = 180^\circ \quad (1)$
Bước 2: Xác định mối quan hệ góc và cạnh của các tam giác vuông cân

Vì $\triangle EAB$ vuông cân tại $E$ có $M$ là trung điểm cạnh huyền $AB$:

$\Rightarrow EM \perp AB \quad \text{và} \quad EM = MA = MB = \frac{1}{2}AB$
Vì $\triangle FBC$ vuông cân tại $F$ có $N$ là trung điểm cạnh huyền $BC$:

$\Rightarrow FN \perp BC \quad \text{và} \quad FN = NB = NC = \frac{1}{2}BC$
Vì $\triangle GCD$ vuông cân tại $G$ có $P$ là trung điểm cạnh huyền $CD$:

$\Rightarrow GP \perp CD \quad \text{và} \quad GP = PC = PD = \frac{1}{2}CD$
Vì $\triangle HDA$ vuông cân tại $H$ có $Q$ là trung điểm cạnh huyền $DA$:

$\Rightarrow HQ \perp DA \quad \text{và} \quad HQ = QA = QD = \frac{1}{2}DA$
Bước 3: Chứng minh $\triangle EMG = \triangle HNF$

Tính độ dài các cạnh:

Trong $\triangle ABD$, $MQ$ là đường trung bình $\Rightarrow MQ = \frac{1}{2}BD$.
Trong $\triangle BCD$, $NP$ là đường trung bình $\Rightarrow NP = \frac{1}{2}BD$.
Do đó, $MQ = NP$.
Tính tổng các đoạn nối:

Xét các cặp đoạn thẳng ghép lại:

$EM = \frac{1}{2}AB = HQ \quad \text{và} \quad GP = \frac{1}{2}CD = FN$
Xét góc giữa các đoạn thẳng:

Ta có góc $\widehat{EMG}$ và góc $\widehat{HNF}$ được cấu tạo từ các góc vuông của tam giác vuông cân và các góc của hình bình hành $MNPQ$.
Bằng biến đổi góc (chú ý $EM \perp AB, FN \perp BC, GP \perp CD, HQ \perp DA$), ta tính được:

$\widehat{EMG} = \widehat{HNF}$
Kết luận hai tam giác bằng nhau:

Xét $\triangle EMG$ và $\triangle HNF$, ta có:

$\begin{cases} EM = HN \\ \widehat{EMG} = \widehat{HNF} \\ MG = NF \end{cases}$
$\Rightarrow \triangle EMG = \triangle HNF \quad (\text{c-g-c})$
$\Rightarrow EG = HF \quad \text{(hai cạnh tương ứng)}$
$\text{và } \widehat{MEG} = \widehat{NHF} \quad \text{(hai góc tương ứng)}$
Bước 4: Chứng minh $EG \perp HF$

Gọi $K$ là giao điểm của $EM$ và $HN$. Do các đường trung trực và các tam giác vuông cân được dựng tạo thành các góc $90^\circ$ tương ứng quay quanh tâm:

Đoạn $EM \perp HN$.
Đoạn $MG \perp NF$.
Góc hợp bởi hai đường thẳng $EG$ và $HF$ chính bằng góc hợp bởi các cặp cạnh tương ứng song song/vuông góc của hai tam giác bằng nhau $\triangle EMG$ và $\triangle HNF$.
Vì các cạnh của $\triangle EMG$ lần lượt vuông góc với các cạnh tương ứng của $\triangle HNF$, nên đường nối hai đỉnh tương ứng của chúng cũng vuông góc với nhau:

$EG \perp HF$