Để chứng minh rằng \( \frac{a^2}{2} + b^2 + c^2 \geq a(b+c) \) với mọi số thực \( a, b, c \), chúng ta có thể làm như sau:

Bắt đầu với bất đẳng thức Cauchy-Schwarz:
\[ (b+c)^2 \leq 2(b^2 + c^2) \]

Suy ra:
\[ b^2 + c^2 \geq \frac{(b+c)^2}{2} \]

Với điều kiện \( a > 0 \), ta nhân cả hai vế của bất đẳng thức này với \( a \):
\[ a(b^2 + c^2) \geq \frac{a(b+c)^2}{2} \]

Bây giờ ta cộng \( \frac{a^2}{2} \) vào cả hai vế:
\[ \frac{a^2}{2} + a(b^2 + c^2) \geq \frac{a^2}{2} + \frac{a(b+c)^2}{2} \]

Ta muốn chứng minh rằng:
\[ \frac{a^2}{2} + b^2 + c^2 \geq a(b+c) \]

Để làm được điều này, chúng ta cần chứng minh rằng:
\[ \frac{a^2}{2} + b^2 + c^2 \geq \frac{a^2}{2} + \frac{a(b+c)^2}{2} \]

Điều này suy ra từ bất đẳng thức Cauchy-Schwarz. Vì vậy, bất đẳng thức được chứng minh đúng với mọi \( a, b, c \).

Do đó, ta có \( \frac{a^2}{2} + b^2 + c^2 \geq a(b+c) \) với mọi số thực \( a, b, c \).

Để chứng minh rằng \( \frac{a^2}{2} + b^2 + c^2 \geq a(b+c) \) với mọi a, b, c, ta sẽ sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz.

Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz cho hai dãy số thực x và y là:
\[ (x_1^2 + x_2^2 + ... + x_n^2)(y_1^2 + y_2^2 + ... + y_n^2) \geq (x_1y_1 + x_2y_2 + ... + x_ny_n)^2 \]

Áp dụng vào bài toán, ta có:
\[ (\frac{a}{\sqrt{2}})^2 + b^2 + c^2 \geq (\frac{a}{\sqrt{2}} \cdot 1 + b \cdot 1 + c \cdot 1)^2 \]
\[ \frac{a^2}{2} + b^2 + c^2 \geq (a(b+c))^2 \]

Do đó, ta có:
\[ \frac{a^2}{2} + b^2 + c^2 \geq a(b+c) \]

Vậy, bất đẳng thức đã được chứng minh.

Vì a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác nên ta có:

0 < a < b + c => a2 < a(b + c) = ab + ca;

0 < b < c + a => b2 < b(c + a) = bc + ab;

0 < c < a + b => c2 < c(a + cb) = ca + bc

Do đó suy ra a2 + b2 + c2 < (ab + ca) + (bc + ab) + (ca + bc)

=> a2 + b2 + c2 < 2(ab + bc + ca).