Question

Đã trả lời bởi chuyên gia

Answer 1

Để rút gọn biểu thức

\[
S = \sum_{n=3}^{99} \frac{1}{\sqrt{n} + \sqrt{n+2}},
\]

ta sẽ xem xét từng phần tử trong tổng này. Cụ thể, ta có:

\[
\frac{1}{\sqrt{n} + \sqrt{n+2}}.
\]

### Bước 1: Nhân với liên hợp

Ta nhân tử số và mẫu số với liên hợp của mẫu số:

\[
\frac{1}{\sqrt{n} + \sqrt{n+2}} \cdot \frac{\sqrt{n+2} - \sqrt{n}}{\sqrt{n+2} - \sqrt{n}} = \frac{\sqrt{n+2} - \sqrt{n}}{(\sqrt{n} + \sqrt{n+2})(\sqrt{n+2} - \sqrt{n})}.
\]

### Bước 2: Tính mẫu số

Mẫu số trở thành:

\[
(\sqrt{n+2})^2 - (\sqrt{n})^2 = (n + 2) - n = 2.
\]

Do đó, ta có:

\[
\frac{1}{\sqrt{n} + \sqrt{n+2}} = \frac{\sqrt{n+2} - \sqrt{n}}{2}.
\]

### Bước 3: Thay vào tổng

Vậy tổng \( S \) có thể viết lại như sau:

\[
S = \sum_{n=3}^{99} \frac{\sqrt{n+2} - \sqrt{n}}{2} = \frac{1}{2} \sum_{n=3}^{99} (\sqrt{n+2} - \sqrt{n}).
\]

### Bước 4: Rút gọn tổng

Tổng này là một chuỗi tách biệt, cho phép ta viết:

\[
S = \frac{1}{2} \left[ \sqrt{101} - \sqrt{3} \right].
\]

### Bước 5: Kết quả cuối cùng

Vậy kết quả cuối cùng là:

\[
S = \frac{\sqrt{101} - \sqrt{3}}{2}.
\]

...Xem thêm

Answer 2

Để rút gọn biểu thức

\[
S = \sum_{n=3}^{99} \frac{1}{\sqrt{n} + \sqrt{n+2}},
\]

ta sẽ xem xét từng phần tử trong tổng này. Cụ thể, ta có:

\[
\frac{1}{\sqrt{n} + \sqrt{n+2}}.
\]

### Bước 1: Nhân với liên hợp

Ta nhân tử số và mẫu số với liên hợp của mẫu số:

\[
\frac{1}{\sqrt{n} + \sqrt{n+2}} \cdot \frac{\sqrt{n+2} - \sqrt{n}}{\sqrt{n+2} - \sqrt{n}} = \frac{\sqrt{n+2} - \sqrt{n}}{(\sqrt{n} + \sqrt{n+2})(\sqrt{n+2} - \sqrt{n})}.
\]

### Bước 2: Tính mẫu số

Mẫu số trở thành:

\[
(\sqrt{n+2})^2 - (\sqrt{n})^2 = (n + 2) - n = 2.
\]

Do đó, ta có:

\[
\frac{1}{\sqrt{n} + \sqrt{n+2}} = \frac{\sqrt{n+2} - \sqrt{n}}{2}.
\]

### Bước 3: Thay vào tổng

Vậy tổng \( S \) có thể viết lại như sau:

\[
S = \sum_{n=3}^{99} \frac{\sqrt{n+2} - \sqrt{n}}{2} = \frac{1}{2} \sum_{n=3}^{99} (\sqrt{n+2} - \sqrt{n}).
\]

### Bước 4: Rút gọn tổng

Tổng này là một chuỗi tách biệt, cho phép ta viết:

\[
S = \frac{1}{2} \left[ \sqrt{101} - \sqrt{3} \right].
\]

### Bước 5: Kết quả cuối cùng

Vậy kết quả cuối cùng là:

\[
S = \frac{\sqrt{101} - \sqrt{3}}{2}.
\]

Answer 3

Để rút gọn biểu thức

S=∑99n=31√n+√n+2,𝑆=∑𝑛=3991𝑛+𝑛+2,

ta sẽ xem xét từng phần tử trong tổng này. Cụ thể, ta có:

1√n+√n+2.1𝑛+𝑛+2.

### Bước 1: Nhân với liên hợp

Ta nhân tử số và mẫu số với liên hợp của mẫu số:

1√n+√n+2⋅√n+2−√n√n+2−√n=√n+2−√n(√n+√n+2)(√n+2−√n).1𝑛+𝑛+2⋅𝑛+2−𝑛𝑛+2−𝑛=𝑛+2−𝑛(𝑛+𝑛+2)(𝑛+2−𝑛).

### Bước 2: Tính mẫu số

Mẫu số trở thành:

(√n+2)2−(√n)2=(n+2)−n=2.(𝑛+2)2−(𝑛)2=(𝑛+2)−𝑛=2.

Do đó, ta có:

1√n+√n+2=√n+2−√n2.1𝑛+𝑛+2=𝑛+2−𝑛2.

### Bước 3: Thay vào tổng

Vậy tổng S𝑆 có thể viết lại như sau:

S=∑99n=3√n+2−√n2=12∑99n=3(√n+2−√n).𝑆=∑𝑛=399𝑛+2−𝑛2=12∑𝑛=399(𝑛+2−𝑛).

### Bước 4: Rút gọn tổng

Tổng này là một chuỗi tách biệt, cho phép ta viết:

S=12[√101−√3].𝑆=12[101−3].

### Bước 5: Kết quả cuối cùng

Vậy kết quả cuối cùng là:

S=√101−√32.

...Xem thêm

Answer 4

Để rút gọn biểu thức

S=∑99n=31√n+√n+2,𝑆=∑𝑛=3991𝑛+𝑛+2,

ta sẽ xem xét từng phần tử trong tổng này. Cụ thể, ta có:

1√n+√n+2.1𝑛+𝑛+2.

### Bước 1: Nhân với liên hợp

Ta nhân tử số và mẫu số với liên hợp của mẫu số:

1√n+√n+2⋅√n+2−√n√n+2−√n=√n+2−√n(√n+√n+2)(√n+2−√n).1𝑛+𝑛+2⋅𝑛+2−𝑛𝑛+2−𝑛=𝑛+2−𝑛(𝑛+𝑛+2)(𝑛+2−𝑛).

### Bước 2: Tính mẫu số

Mẫu số trở thành:

(√n+2)2−(√n)2=(n+2)−n=2.(𝑛+2)2−(𝑛)2=(𝑛+2)−𝑛=2.

Do đó, ta có:

1√n+√n+2=√n+2−√n2.1𝑛+𝑛+2=𝑛+2−𝑛2.

### Bước 3: Thay vào tổng

Vậy tổng S𝑆 có thể viết lại như sau:

S=∑99n=3√n+2−√n2=12∑99n=3(√n+2−√n).𝑆=∑𝑛=399𝑛+2−𝑛2=12∑𝑛=399(𝑛+2−𝑛).

### Bước 4: Rút gọn tổng

Tổng này là một chuỗi tách biệt, cho phép ta viết:

S=12[√101−√3].𝑆=12[101−3].

### Bước 5: Kết quả cuối cùng

Vậy kết quả cuối cùng là:

S=√101−√32.

2 câu trả lời 152

Câu hỏi hot cùng chủ đề

Bài viết mới nhất Lớp 9