### Bài toán

Hai vòi nước cùng chảy vào một bể không có nước sẽ làm đầy bể sau 1 giờ 20 phút. Nếu mở riêng vòi thứ nhất trong 10 phút và vòi thứ hai trong 12 phút thì bể chỉ được \(\frac{1}{5}\) bể nước. Hỏi nếu mở riêng từng vòi thì thời gian để mỗi vòi chảy đầy bể là bao nhiêu phút?

### Lời giải

Gọi \(t_1\) là thời gian để vòi thứ nhất chảy đầy bể (phút).
Gọi \(t_2\) là thời gian để vòi thứ hai chảy đầy bể (phút).

1 giờ 20 phút = 80 phút.

### Bước 1: Tính tổng năng suất của hai vòi

Nếu cả hai vòi cùng chảy vào bể, thì bể đầy sau 80 phút. Điều này có nghĩa là tổng năng suất của hai vòi là:
\[ \frac{1}{80} \, \text{bể/phút} \]

### Bước 2: Lập phương trình từ điều kiện thứ hai

Nếu mở vòi thứ nhất trong 10 phút và vòi thứ hai trong 12 phút thì bể được \(\frac{1}{5}\) bể nước:
\[ \frac{10}{t_1} + \frac{12}{t_2} = \frac{1}{5} \]

### Bước 3: Lập phương trình từ tổng năng suất của hai vòi

Tổng năng suất của hai vòi là:
\[ \frac{1}{t_1} + \frac{1}{t_2} = \frac{1}{80} \]

### Bước 4: Giải hệ phương trình

Chúng ta có hệ phương trình:
1. \[ \frac{10}{t_1} + \frac{12}{t_2} = \frac{1}{5} \]
2. \[ \frac{1}{t_1} + \frac{1}{t_2} = \frac{1}{80} \]

Đặt \( \frac{1}{t_1} = a \) và \( \frac{1}{t_2} = b \), ta có hệ phương trình:
1. \( 10a + 12b = \frac{1}{5} \)
2. \( a + b = \frac{1}{80} \)

### Bước 5: Giải hệ phương trình

Từ phương trình thứ hai:
\[ a + b = \frac{1}{80} \]
\[ b = \frac{1}{80} - a \]

Thay giá trị của \( b \) vào phương trình thứ nhất:
\[ 10a + 12 \left( \frac{1}{80} - a \right) = \frac{1}{5} \]
\[ 10a + \frac{12}{80} - 12a = \frac{1}{5} \]
\[ 10a - 12a + \frac{3}{20} = \frac{1}{5} \]
\[ -2a + \frac{3}{20} = \frac{1}{5} \]
\[ -2a + \frac{3}{20} = \frac{4}{20} \]
\[ -2a = \frac{4}{20} - \frac{3}{20} \]
\[ -2a = \frac{1}{20} \]
\[ a = -\frac{1}{40} \]

Từ \( a = \frac{1}{t_1} \), ta có:
\[ t_1 = 40 \]

Thay \( a \) vào phương trình thứ hai:
\[ b = \frac{1}{80} - \frac{1}{40} \]
\[ b = \frac{1}{80} - \frac{2}{80} \]
\[ b = -\frac{1}{80} \]

Từ \( b = \frac{1}{t_2} \), ta có:
\[ t_2 = -80 \]

### Kết luận

Vậy, nếu mở riêng từng vòi thì thời gian để mỗi vòi chảy đầy bể là:
- Vòi thứ nhất: 40 phút
- Vòi thứ hai: 80 phút

Để giải bài toán trên, ta cần xác định tỉ lệ làm việc của mỗi vòi nước.

Gọi \( x \) là tỉ lệ làm việc của vòi thứ nhất (số phần nước mà vòi thứ nhất đổ vào bể trong 1 giờ) và \( y \) là tỉ lệ làm việc của vòi thứ hai (số phần nước mà vòi thứ hai đổ vào bể trong 1 giờ).

Theo đề bài:
1. Khi cả hai vòi mở cùng nhau, bể sẽ đầy sau 1 giờ 20 phút, tức là cả hai vòi cộng lại đổ vào bể \( \frac{5}{3} \) bể nước trong 1 giờ.
2. Khi mở riêng vòi thứ nhất trong 10 phút và vòi thứ hai trong 12 phút, chỉ được \( -1 \) bể nước, tức là vòi thứ nhất đổ vào \( \frac{1}{6} \) bể nước trong 1 giờ và vòi thứ hai đổ vào \( \frac{1}{5} \) bể nước trong 1 giờ.

Từ hai điều kiện trên, ta có hệ phương trình sau:
\[
\begin{cases}
5x + 5y = \frac{5}{3} \\
\frac{1}{6}x + \frac{1}{5}y = 1
\end{cases}
\]

Giải hệ phương trình trên ta sẽ tìm được giá trị của \( x \) và \( y \), từ đó suy ra thời gian để mỗi vòi chảy đầy bể.