Để tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $p = xyz$ với các điều kiện $1 \leq x \leq 4$, $5 \leq y \leq z \leq 6$, và $x + y + z = 14$, ta có thể thử tất cả các giá trị thỏa mãn các điều kiện này.

1. Đầu tiên, xét các giá trị có thể của $x$ từ 1 đến 4.
2. Với mỗi giá trị $x$, ta tìm các cặp giá trị $(y, z)$ sao cho $y$ và $z$ nằm trong khoảng từ 5 đến 6 và $y + z = 14 - x$.

### Các bước chi tiết:

1. Nếu $x = 1$:
- $y + z = 13$
- Các cặp $(y, z)$ thỏa mãn: $(6, 7)$, nhưng $z$ không thể lớn hơn 6, nên loại $x = 1$.

2. Nếu $x = 2$:
- $y + z = 12$
- Các cặp $(y, z)$ thỏa mãn: $(6, 6)$ (do $y \leq z$)
- $p = 2 \times 6 \times 6 = 72$

3. Nếu $x = 3$:
- $y + z = 11$
- Các cặp $(y, z)$ thỏa mãn: $(5, 6)$
- $p = 3 \times 5 \times 6 = 90$

4. Nếu $x = 4$:
- $y + z = 10$
- Các cặp $(y, z)$ thỏa mãn: $(5, 5)$
- $p = 4 \times 5 \times 5 = 100$

Như vậy, giá trị lớn nhất của biểu thức $p = xyz$ thỏa mãn các điều kiện đã cho là:

$\boxed{100}$

khi $x = 4$, $y = 5$, và $z = 5$.

Để tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $P = xyz$ với các điều kiện $1 \le x \le 4$, $5 \le y \le z \le 6$, và $x + y + z = 14$, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau:

### Bước 1: Xác định các giá trị có thể của $x$
Vì $x$ là một số trong khoảng từ 1 đến 4, chúng ta sẽ xem xét từng giá trị có thể của $x$.

### Bước 2: Xác định giá trị của $y$ và $z$
Với mỗi giá trị của $x$, chúng ta sẽ tính $y$ và $z$ sao cho $y + z = 14 - x$ và $5 \le y \le z \le 6$.

### Bước 3: Tính toán giá trị của $P$
Chúng ta sẽ tính giá trị của $P = xyz$ cho mỗi tổ hợp các giá trị $x, y, z$ và xác định giá trị lớn nhất.

### Trường hợp 1: $x = 1$
$y + z = 14 - 1 = 13$
Vì $5 \le y \le z \le 6$, ta xét:
$y = 6, z = 7 \quad \text{(không thoả mãn do 7 không thuộc đoạn [5, 6])}$
$y = 5, z = 8 \quad \text{(không thoả mãn do 8 không thuộc đoạn [5, 6])}$

### Trường hợp 2: $x = 2$
$y + z = 14 - 2 = 12$
Vì $5 \le y \le z \le 6$, ta xét:
$y = 6, z = 6 \quad \text{(thoả mãn)}$
Giá trị của $P$ là:
$P = 2 \cdot 6 \cdot 6 = 72$

### Trường hợp 3: $x = 3$
$y + z = 14 - 3 = 11$
Vì $5 \le y \le z \le 6$, ta xét:
$y = 5, z = 6 \quad \text{(thoả mãn)}$
Giá trị của $P$ là:
$P = 3 \cdot 5 \cdot 6 = 90$

### Trường hợp 4: $x = 4$
$y + z = 14 - 4 = 10$
Vì $5 \le y \le z \le 6$, ta xét:
$y = 5, z = 5 \quad \text{(thoả mãn)}$
Giá trị của $P$ là:
$P = 4 \cdot 5 \cdot 5 = 100$

### Kết luận
Giá trị lớn nhất của $P = xyz$ là $100$, đạt được khi $x = 4$, $y = 5$, và $z = 5$.