Để giải bài toán này, chúng ta cần tiến hành các bước chứng minh như sau:

### Cho tam giác \(ABC\) cân tại \(A\) với các đường cao \(AD\), \(BE\), \(CF\) cắt nhau tại \(H\).

### Chứng minh:
#### a. Bốn điểm \(B\), \(D\), \(H\), \(F\) cùng thuộc một đường tròn
Chúng ta cần chứng minh tứ giác \(BDHF\) nội tiếp.

- Ta có \(AD\), \(BE\), \(CF\) là các đường cao của tam giác cân \(ABC\) cắt nhau tại trực tâm \(H\).
- Đường cao \(AD\) vuông góc với \(BC\) tại \(D\).
- Đường cao \(BE\) vuông góc với \(AC\) tại \(E\).
- Đường cao \(CF\) vuông góc với \(AB\) tại \(F\).

Trong tam giác cân \(ABC\), đường cao \(AD\) cũng là trung tuyến và đường phân giác.

1. Ta có \(\angle BDA = 90^\circ\) và \(\angle ADF = 90^\circ\) (do \(AD\) là đường cao).
2. Xét tứ giác \(BDHF\):
- Ta có \(\angle BDA + \angle HDF = 90^\circ + 90^\circ = 180^\circ\).

Vì vậy, \(BDHF\) là tứ giác nội tiếp trong đường tròn.

Để xác định tâm \(O\) của đường tròn này:
- Tâm \(O\) là giao điểm của đường trung trực của \(BD\) và \(HF\).

#### b. Bốn điểm \(A\), \(F\), \(D\), \(C\) cùng thuộc một đường tròn
Chúng ta cần chứng minh tứ giác \(AFDC\) nội tiếp.

1. Ta có \(\angle ADF = 90^\circ\) và \(\angle ACF = 90^\circ\) (do \(CF\) là đường cao).
2. Xét tứ giác \(AFDC\):
- Ta có \(\angle ADF + \angle ACF = 90^\circ + 90^\circ = 180^\circ\).

Vì vậy, \(AFDC\) là tứ giác nội tiếp trong đường tròn.

Để xác định tâm \(K\) của đường tròn này:
- Tâm \(K\) là giao điểm của đường trung trực của \(AD\) và \(CF\).

#### c. Chứng minh \(IK\) đi qua trung điểm của \(FD\)
1. Gọi \(M\) là trung điểm của \(FD\).
2. Xét tam giác \(AFD\) và \(ACF\), ta có \(AF = AC\) và \(AD = AC\) (do tam giác \(ABC\) cân tại \(A\)).
3. Tâm đường tròn ngoại tiếp \(AFDC\) là \(K\), nằm trên đường trung trực của \(AD\) và \(CF\), nghĩa là cũng nằm trên trục đối xứng của tam giác cân \(ABC\).
4. \(I\) là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác \(ABC\), nằm trên đường trung trực của \(BC\), cũng là trục đối xứng của tam giác cân \(ABC\).
5. Vì cả \(I\) và \(K\) nằm trên trục đối xứng của tam giác cân \(ABC\), nên đường thẳng \(IK\) cũng nằm trên trục đối xứng này.

Vì \(M\) là trung điểm của \(FD\) và nằm trên trục đối xứng của tam giác cân \(ABC\), nên \(IK\) phải đi qua \(M\).

Vậy, \(IK\) đi qua trung điểm của \(FD\).

Để giải bài toán này, chúng ta cần tiến hành các bước chứng minh như sau:

### Cho tam giác ABC cân tại A với các đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H.

### Chứng minh:
#### a. Bốn điểm B, D, H, F cùng thuộc một đường tròn
Chúng ta cần chứng minh tứ giác BDHF nội tiếp.

- Ta có AD, BE, CF là các đường cao của tam giác cân ABC cắt nhau tại trực tâm H.
- Đường cao AD vuông góc với BC tại D.
- Đường cao BE vuông góc với AC tại E.
- Đường cao CF vuông góc với AB tại F.

Trong tam giác cân ABC, đường cao AD cũng là trung tuyến và đường phân giác.

1. Ta có ∠BDA=90∘ và ∠ADF=90∘ (do AD là đường cao).
2. Xét tứ giác BDHF:
- Ta có ∠BDA+∠HDF=90∘+90∘=180∘.

Vì vậy, BDHF là tứ giác nội tiếp trong đường tròn.

Để xác định tâm O của đường tròn này:
- Tâm O là giao điểm của đường trung trực của BD và HF.

#### b. Bốn điểm A, F, D, C cùng thuộc một đường tròn
Chúng ta cần chứng minh tứ giác AFDC nội tiếp.

1. Ta có ∠ADF=90∘ và ∠ACF=90∘ (do CF là đường cao).
2. Xét tứ giác AFDC:
- Ta có ∠ADF+∠ACF=90∘+90∘=180∘.

Vì vậy, AFDC là tứ giác nội tiếp trong đường tròn.

Để xác định tâm K của đường tròn này:
- Tâm K là giao điểm của đường trung trực của AD và CF.

#### c. Chứng minh IK đi qua trung điểm của FD
1. Gọi M là trung điểm của FD.
2. Xét tam giác AFD và ACF, ta có AF=AC và AD=AC (do tam giác ABC cân tại A).
3. Tâm đường tròn ngoại tiếp AFDC là K, nằm trên đường trung trực của AD và CF, nghĩa là cũng nằm trên trục đối xứng của tam giác cân ABC.
4. I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC, nằm trên đường trung trực của BC, cũng là trục đối xứng của tam giác cân ABC.
5. Vì cả I và K nằm trên trục đối xứng của tam giác cân ABC, nên đường thẳng IK cũng nằm trên trục đối xứng này.

Vì M là trung điểm của FD và nằm trên trục đối xứng của tam giác cân ABC, nên IK phải đi qua M.

Vậy, IK đi qua trung điểm của FD.