Để giải bài toán này, ta sẽ sử dụng tính chất của giá trị tuyệt đối của số phức.

Đặt z = a + bi, với a, b là số thực.

Ta có | z + 1 - 7i | + | z + 1 + 7i | = 14

Áp dụng tính chất |a| + |b| = |a + b|, ta có:

| (z + 1 - 7i) + (z + 1 + 7i) | = 14

| 2z + 2 | = 14

| z + 1 | = 7

Từ đây, ta có | z - (1 + i) | = m

Để tìm số giá trị nguyên của tham số m, ta cần tìm các điểm nằm trên đường tròn tâm (1, 1) và bán kính m.

Đường tròn có phương trình (x - 1)² + (y - 1)² = m²

Để tìm số giá trị nguyên của m, ta cần xác định các điểm nằm trên đường tròn sao cho cả phần thực và phần ảo của z đều là số nguyên.

Với m = 0, ta có z = 1 + i, không thoả mãn điều kiện.

Với m = 1, ta có z = 1 + i hoặc z = 1 - i, đều thoả mãn.

Với m = 2, ta có z = 2 + i hoặc z = 2 - i, đều thoả mãn.

Vậy có 3 giá trị nguyên của tham số m sao cho điều kiện đề bài thoả mãn, đó là m = 1, 2 và 3.
 

Để giải bài toán này, ta sẽ sử dụng tính chất của giá trị tuyệt đối của số phức.

Đặt z = a + bi, với a, b là số thực.

Ta có | z + 1 - 7i | + | z + 1 + 7i | = 14

Áp dụng tính chất |a| + |b| = |a + b|, ta có:

| (z + 1 - 7i) + (z + 1 + 7i) | = 14

| 2z + 2 | = 14

| z + 1 | = 7

Từ đây, ta có | z - (1 + i) | = m

Để tìm số giá trị nguyên của tham số m, ta cần tìm các điểm nằm trên đường tròn tâm (1, 1) và bán kính m.

Đường tròn có phương trình (x - 1)² + (y - 1)² = m²

Để tìm số giá trị nguyên của m, ta cần xác định các điểm nằm trên đường tròn sao cho cả phần thực và phần ảo của z đều là số nguyên.

Với m = 0, ta có z = 1 + i, không thoả mãn điều kiện.

Với m = 1, ta có z = 1 + i hoặc z = 1 - i, đều thoả mãn.

Với m = 2, ta có z = 2 + i hoặc z = 2 - i, đều thoả mãn.

Vậy có 3 giá trị nguyên của tham số m sao cho điều kiện đề bài thoả mãn, đó là m = 1, 2 và 3.