Question

Đã trả lời bởi chuyên gia

Answer 1

### Câu 1: Tìm \( m \) để phương trình có hai nghiệm phân biệt và thỏa mãn điều kiện

Xét phương trình:

\[ x^2 - (m+3)x + m + 1 = 0 \]

#### Điều kiện để phương trình có hai nghiệm phân biệt

Dùng định lý về nghiệm của phương trình bậc hai, phương trình có hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi:

\[ \Delta = b^2 - 4ac > 0 \]

Với \( a = 1 \), \( b = -(m+3) \), và \( c = m + 1 \), ta có:

\[ \Delta = (m+3)^2 - 4(m+1) \]

\[ \Delta = m^2 + 6m + 9 - 4m - 4 \]

\[ \Delta = m^2 + 2m + 5 \]

Điều kiện để phương trình có hai nghiệm phân biệt là:

\[ m^2 + 2m + 5 > 0 \]

Do \( m^2 + 2m + 5 \) là một tam thức bậc hai có hệ số \( a = 1 > 0 \) và có giá trị của đỉnh là:

\[ \Delta' = b^2 - 4ac = 4 - 20 = -16 < 0 \]

Nên \( m^2 + 2m + 5 > 0 \) với mọi \( m \in \mathbb{R} \).

#### Điều kiện thỏa mãn 2(x1+x2) - 8(x1x2) = 34

Theo định lý Viète, ta có:

\[ x_1 + x_2 = m + 3 \]

\[ x_1 x_2 = m + 1 \]

Thay vào điều kiện:

\[ 2(x_1 + x_2) - 8(x_1 x_2) = 34 \]

\[ 2(m + 3) - 8(m + 1) = 34 \]

\[ 2m + 6 - 8m - 8 = 34 \]

\[ -6m - 2 = 34 \]

\[ -6m = 36 \]

\[ m = -6 \]

Vậy giá trị của \( m \) là \( m = -6 \).

### Câu 2: Tìm tọa độ và khoảng cách

Cho đường thẳng \( (d): y = ax - 4 \) và \( (d'): y = -3x + 2 \).

#### a) Biết \( (d) \) đi qua điểm \( A(-1, 5) \). Tìm \( a \).

Thay tọa độ điểm \( A \) vào phương trình đường thẳng \( (d) \):

\[ 5 = a(-1) - 4 \]

\[ 5 = -a - 4 \]

\[ a = -9 \]

Vậy \( a = -9 \).

#### b) Tọa độ giao điểm của \( (d') \) với trục hoành và trục tung. Tính khoảng cách từ gốc tọa độ \( O \) đến đường thẳng \( (d) \).

- Giao điểm của \( (d'): y = -3x + 2 \) với trục hoành (y = 0):

\[ 0 = -3x + 2 \]

\[ x = \frac{2}{3} \]

Vậy tọa độ giao điểm với trục hoành là \( (\frac{2}{3}, 0) \).

- Giao điểm của \( (d'): y = -3x + 2 \) với trục tung (x = 0):

\[ y = 2 \]

Vậy tọa độ giao điểm với trục tung là \( (0, 2) \).

- Khoảng cách từ gốc tọa độ \( O \) đến đường thẳng \( (d): y = -9x - 4 \):

Công thức khoảng cách từ điểm \( (x_0, y_0) \) đến đường thẳng \( Ax + By + C = 0 \):

\[ d = \frac{|Ax_0 + By_0 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}} \]

Với \( O(0,0) \) và \( -9x - y - 4 = 0 \), ta có:

\[ A = -9, B = -1, C = -4 \]

\[ d = \frac{|-9 \cdot 0 - 1 \cdot 0 - 4|}{\sqrt{(-9)^2 + (-1)^2}} \]

\[ d = \frac{4}{\sqrt{81 + 1}} \]

\[ d = \frac{4}{\sqrt{82}} \]

\[ d = \frac{4}{\sqrt{82}} = \frac{4\sqrt{82}}{82} = \frac{2\sqrt{82}}{41} \]

Vậy khoảng cách từ gốc tọa độ \( O \) đến đường thẳng \( (d) \) là \( \frac{2\sqrt{82}}{41} \).

...Xem thêm

Answer 2