Cho hai số thực x, y thỏa mãn x2 + y2 = 3 - 2y Chứng minh 2(x + y) + y2 ≥

Thuy Truong Hỏi từ APP VIETJACK

đã hỏi trong Lớp 9 Toán học

· 23:10 23/05/2024

Cho hai số thực x, y thỏa mãn x² + y² = 3 - 2y Chứng minh 2(x + y) + y² $\geq$ - 5

Trả Lời (+5 điểm)

Hỏi chi tiết

Quảng cáo

1 câu trả lời 844

Phạm Thị Huyền

1 năm trước

Để chứng minh $2(x + y) + y^2 \geq -5$ cho các số thực $x$ và $y$ thỏa mãn $x^2 + y^2 = 3 - 2y$, chúng ta bắt đầu bằng cách sử dụng điều kiện $x^2 + y^2 = 3 - 2y$.

Trước hết, ta sắp xếp lại phương trình:

\[
x^2 + y^2 + 2y = 3
\]

Như vậy, chúng ta có:

\[
x^2 + (y^2 + 2y) = 3
\]

Nhìn vào biểu thức $y^2 + 2y$, ta nhận ra rằng nó có thể được viết lại dưới dạng hoàn chỉnh bình phương:

\[
y^2 + 2y = (y+1)^2 - 1
\]

Thay đổi biểu thức trong phương trình ban đầu:

\[
x^2 + (y+1)^2 - 1 = 3
\]

Chúng ta sắp xếp lại phương trình:

\[
x^2 + (y+1)^2 = 4
\]

Điều này có nghĩa là:

\[
x^2 + (y+1)^2 = 4
\]

Từ đây, chúng ta có thể suy ra rằng $x^2$ và $(y+1)^2$ phải nằm trong phạm vi mà tổng của chúng bằng 4. Điều này nghĩa là $(x, y+1)$ nằm trên đường tròn bán kính 2 với tâm tại gốc tọa độ.

Tiếp theo, chúng ta xét biểu thức cần chứng minh $2(x + y) + y^2 \geq -5$. Đầu tiên, sắp xếp lại:

\[
2(x + y) + y^2 \geq -5
\]

Tách các phần ra:

\[
2x + 2y + y^2 \geq -5
\]

Bây giờ, thay $y^2$ từ điều kiện ban đầu vào:

\[
y^2 + 2y = 3 - x^2
\]

Thế vào biểu thức cần chứng minh:

\[
2x + 2y + (3 - x^2) \geq -5
\]

Tính gọn lại:

\[
2x + 2y + 3 - x^2 \geq -5
\]

Chuyển các số hạng sang một phía:

\[
-x^2 + 2x + 2y + 8 \geq 0
\]