Cho phương trình: x² + 2mx + 2m - 1 = 0 a. Tìm m để phương trình có 2 nghiệm phân biệt. b. Tìm giá trị lớn nhất thỏa mãn: A = x1²x2 + x1x2²

Như Nguyễn Huỳnh Hỏi từ APP VIETJACK

· 10:17 23/05/2024

Cho phương trình: x² + 2mx + 2m - 1 = 0
a. Tìm m để phương trình có 2 nghiệm phân biệt.
b. Tìm giá trị lớn nhất thỏa mãn:
A = x1²x2 + x1x2²

Trả Lời (+5 điểm)

Hỏi chi tiết

Quảng cáo

2 câu trả lời 698

Chinh nè

1 năm trước

Để giải quyết bài toán trên, ta thực hiện theo các bước sau:

a. Tìm \( m \) để phương trình có 2 nghiệm phân biệt

Phương trình bậc hai \( x^2 + 2mx + 2m - 1 = 0 \) có hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi:

\[ \Delta > 0 \]

Với phương trình \( ax^2 + bx + c = 0 \), ta có:

\[ a = 1, \quad b = 2m, \quad c = 2m - 1 \]

Tính biệt thức \( \Delta \):

\[ \Delta = b^2 - 4ac = (2m)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (2m - 1) \]
\[ \Delta = 4m^2 - 4(2m - 1) \]
\[ \Delta = 4m^2 - 8m + 4 \]
\[ \Delta = 4(m^2 - 2m + 1) \]
\[ \Delta = 4(m - 1)^2 \]

Phương trình có hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi:

\[ \Delta > 0 \]

Điều này tương đương với:

\[ 4(m - 1)^2 > 0 \]

Do \( (m - 1)^2 \geq 0 \) và chỉ bằng 0 khi \( m = 1 \), nên \( (m - 1)^2 > 0 \) khi \( m \neq 1 \).

Vậy điều kiện để phương trình có hai nghiệm phân biệt là:

\[ m \neq 1 \]

b. Tìm giá trị lớn nhất của \( A = x_1^2 x_2 + x_1 x_2^2 \)

Đặt \( x_1 \) và \( x_2 \) là hai nghiệm của phương trình \( x^2 + 2mx + 2m - 1 = 0 \).

Theo định lý Viète, ta có:

\[ x_1 + x_2 = -2m \]
\[ x_1 x_2 = 2m - 1 \]

Ta cần tìm giá trị lớn nhất của:

\[ A = x_1^2 x_2 + x_1 x_2^2 \]

Ta biến đổi \( A \):

\[ A = x_1^2 x_2 + x_1 x_2^2 = x_1 x_2 (x_1 + x_2) \]
\[ A = (2m - 1)(-2m) \]
\[ A = -4m^2 + 2m \]

Để tìm giá trị lớn nhất của \( A \), ta xét hàm số \( A(m) = -4m^2 + 2m \).

Hàm số \( A(m) = -4m^2 + 2m \) là một parabol có hệ số \( a = -4 < 0 \) nên đạt giá trị lớn nhất tại đỉnh. Toạ độ đỉnh của parabol \( y = ax^2 + bx + c \) là:

\[ m = -\frac{b}{2a} \]
\[ m = -\frac{2}{2(-4)} \]
\[ m = \frac{1}{4} \]

Thay \( m = \frac{1}{4} \) vào hàm số \( A(m) \):

\[ A = -4\left(\frac{1}{4}\right)^2 + 2\left(\frac{1}{4}\right) \]
\[ A = -4\left(\frac{1}{16}\right) + 2\left(\frac{1}{4}\right) \]
\[ A = -\frac{4}{16} + \frac{2}{4} \]
\[ A = -\frac{1}{4} + \frac{1}{2} \]
\[ A = \frac{1}{4} \]

Vậy giá trị lớn nhất của \( A = x_1^2 x_2 + x_1 x_2^2 \) là \( \frac{1}{4} \).

...Xem thêm

0 bình luận

Đăng nhập để hỏi chi tiết

:_2Sơn2_:

1 năm trước

a. Để phương trình có 2 nghiệm phân biệt, ta cần điều kiện Δ > 0 (delta lớn hơn 0). Phương trình đã cho: x² + 2mx + 2m - 1 = 0 Ta có Δ = (2m)² - 4*1*(2m-1) = 4m² - 8m + 4 = 4(m-1)² Để có 2 nghiệm phân biệt, ta cần Δ > 0, tức là 4(m-1)² > 0 Suy ra, m ≠ 1 b. Để tìm giá trị lớn nhất của A = x1²x2 + x1x2², ta sử dụng bất đẳng thức AM-GM (bất đẳng thức trung bình - cực đại): AM-GM: Cho a, b là các số thực dương, ta có: (a+b)/2 ≥ √(ab) Áp dụng vào A = x1²x2 + x1x2², ta có: A = x1²x2 + x1x2² = x1x2(x1 + x2) ≤ (x1x2)((x1 + x2)/2)² = (x1x2)((-2m)/2)² = (x1x2)(-m)² = m²(x1x2) Vì m ≠ 1 (theo phần a), nên ta có thể chia mỗi bước thành 2 trường hợp: - Trường hợp 1: m > 1 Khi đó, m² > 1 và x1x2 đạt giá trị lớn nhất khi x1 = x2 = m (theo AM-GM) Vậy, giá trị lớn nhất của A là m² * m * m = m⁴ - Trường hợp 2: m < 1 Khi đó, m² < 1 và x1x2 đạt giá trị lớn nhất khi x1 = x2 = -m (theo AM-GM) Vậy, giá trị lớn nhất của A là m² * (-m) * (-m) = m³ Vậy, giá trị lớn nhất của A là m⁴ nếu m > 1 và là m³ nếu m < 1.
...

...Xem thêm

0 bình luận

Đăng nhập để hỏi chi tiết

Quảng cáo

Bạn muốn hỏi bài tập?