Để viết phương trình tổng quát của đường thẳng BC, ta cần tìm vectơ chỉ phương của đường thẳng BC và sau đó sử dụng điểm B hoặc C để viết phương trình.

1. **Tìm vectơ chỉ phương của đường thẳng BC:**

Giả sử vectơ chỉ phương của đường thẳng BC là $\overrightarrow{BC}$.

$\overrightarrow{BC} = C - B = (-2 - 1, 2 - 3) = (-3, -1)$

2. **Viết phương trình tổng quát của đường thẳng BC:**

Phương trình tổng quát của một đường thẳng có dạng:
$Ax + By + C = 0$

Với vectơ chỉ phương $\overrightarrow{BC} = (-3, -1)$, ta có thể viết phương trình đường thẳng BC dưới dạng tham số:
$-1(x - 1) - 3(y - 3) = 0$

Chúng ta có thể phân phối và sắp xếp lại phương trình này để có được dạng tổng quát:
$-1(x - 1) - 3(y - 3) = 0$

$-x + 1 - 3y + 9 = 0$

$-x - 3y + 10 = 0$

Chuyển đổi tất cả các dấu, chúng ta nhận được:
$x + 3y - 10 = 0$

Vậy, phương trình tổng quát của đường thẳng BC là:
$x + 3y - 10 = 0$

Để viết phương trình tổng quát của đường thẳng đi qua hai điểm $B(1, 3)$ và $C(-2, 2)$, chúng ta sẽ sử dụng công thức phương trình đường thẳng đi qua hai điểm $(x_1, y_1)$ và $(x_2, y_2)$:

$(y - y_1) = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} (x - x_1)$

Gọi $B(1, 3)$ là $(x_1, y_1)$ và $C(-2, 2)$ là $(x_2, y_2)$, ta có:

$(x_1, y_1) = (1, 3)$
$(x_2, y_2) = (-2, 2)$

Áp dụng vào công thức trên, ta tính hệ số góc $m$:

$m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{2 - 3}{-2 - 1} = \frac{-1}{-3} = \frac{1}{3}$

Vậy phương trình đường thẳng dưới dạng điểm-góc là:

$y - y_1 = m(x - x_1)$

Thay $(x_1, y_1) = (1, 3)$ và $m = \frac{1}{3}$ vào, ta được:

$y - 3 = \frac{1}{3}(x - 1)$

Nhân cả hai vế với 3 để bỏ mẫu:

$3(y - 3) = x - 1$

Rút gọn phương trình:

$3y - 9 = x - 1$

Chuyển tất cả các hạng tử về một phía để có phương trình tổng quát:

$x - 3y + 8 = 0$

Vậy phương trình tổng quát của đường thẳng BC là:

$x - 3y + 8 = 0$