Question

Đã trả lời bởi chuyên gia

Answer 1

Để biểu thức \( H = \frac{\sqrt{x} + 1}{\sqrt{x}} \) có giá trị nguyên, tức là tử số chia hết cho mẫu số mà không dư.

Ta có thể viết lại biểu thức \( H \) như sau:

\[ H = \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}} + \frac{1}{\sqrt{x}} = 1 + \frac{1}{\sqrt{x}} \]

Điều này có nghĩa là \( H \) sẽ là một số nguyên khi \( \frac{1}{\sqrt{x}} \) là một số nguyên.

Vậy ta cần tìm \( x \) sao cho \( \frac{1}{\sqrt{x}} \) là một số nguyên.

\( \frac{1}{\sqrt{x}} \) là một số nguyên khi \( \sqrt{x} \) là một số nghịch đảo của một số nguyên.

Do đó, ta cần tìm \( x \) sao cho \( \sqrt{x} \) là một số nghịch đảo của một số nguyên.

Với điều kiện \( x > \frac{1}{9} \), ta có:

\( \sqrt{x} \) là một số nghịch đảo của một số nguyên khi \( x \) là bình phương của một số nguyên dương.

Vậy ta cần tìm \( x \) sao cho \( x = n^2 \), với \( n \) là một số nguyên dương.

Đồng thời, \( x > \frac{1}{9} \), nên \( n^2 > \frac{1}{9} \), hay \( n > \frac{1}{3} \).

Vậy, để \( H \) là một số nguyên, ta cần tìm \( x \) sao cho \( x = n^2 \), với \( n \) là một số nguyên dương lớn hơn \( \frac{1}{3} \).

Ví dụ, nếu chọn \( n = 1 \), ta có \( x = 1^2 = 1 \), và \( H = 1 + \frac{1}{\sqrt{1}} = 2 \), là một số nguyên.

Nếu chọn \( n = 2 \), ta có \( x = 2^2 = 4 \), và \( H = 1 + \frac{1}{\sqrt{4}} = 1 + \frac{1}{2} = \frac{3}{2} \), không phải là một số nguyên.

Do đó, giá trị của \( x \) là \( 1 \).

...Xem thêm

Answer 2