Trước tiên, vẽ đồ thị để dễ dàng theo dõi quá trình chứng minh.

a. **Chứng minh 4 điểm A, M, H, Q nằm trên 1 đường tròn**:

Gọi O là tâm của đường tròn, khi đó OA = OB = ON (bán kính của đường tròn).

Vì \(MN \perp AB\) nên OM là đường cao của tam giác OAB, từ đó ta thấy \(AH = HB\) (do OM là đường cao, nên AH = HB).

Từ đó, ta có \(AQ = QB\) (do MQ là tia phân giác của góc BMQ) và \(HQ = HQ\) (cạnh chung), nên tam giác AHQ và HBQ là tam giác cân.

Khi tam giác là tam giác cân thì điểm nằm trên cạnh đối diện với góc nhọn sẽ nằm trên đường tròn ngoại tiếp tam giác. Vậy \(A, H, Q\) nằm trên một đường tròn.

b. **Chứng minh góc AMQ = góc PMB**:

Vì MQ là tia phân giác của góc BMQ, nên ta có \(\angle AMQ = \angle PMQ\).

Nhưng ta cũng thấy \(\angle PMQ = \angle PMB\) vì MN đứng vuông góc với AB.

Từ đó, \(\angle AMQ = \angle PMB\).

c. **Chứng minh 3 điểm P, H, Q thẳng hàng**:

Ta thấy \(\angle AHN = \angle AQH\) (do AH = HQ) và \(\angle AQH = \angle QPN\) (do MN đứng vuông góc với AB), nên \(\angle AHN = \angle QPN\).

Nhưng \(\angle AHN = \angle ANH\) (do AH = HB), nên ta có \(\angle ANH = \angle QPN\).

Từ đó, ta thấy \(P, H, Q\) thẳng hàng.

d. **Xác định vị trí của M trên cung AB để MQ * AN = MP * BN**:

Đặt \(x = AM = MB\), khi đó \(BN = AB - x\) và \(AN = AB - x\).

Ta có:
\[MQ = MN + NQ = MN + NA \cdot \cos \angle MAN\]
\[= MN + x \cdot \cos \angle MAN\]

Và:
\[MP = MN + NP = MN + NB \cdot \cos \angle MBN\]
\[= MN + (AB - x) \cdot \cos \angle MBN\]

Do đó, ta có:
\[MQ \cdot AN = MP \cdot BN\]
\[(MN + x \cdot \cos \angle MAN) \cdot (AB - x) = (MN + (AB - x) \cdot \cos \angle MBN) \cdot x\]

Rút gọn:
\[MN \cdot AB + x \cdot AB \cdot \cos \angle MAN - x \cdot MN - x^2 \cdot \cos \angle MAN = MN \cdot AB + x \cdot MN \cdot \cos \angle MBN - AB \cdot x \cdot \cos \angle MBN + x^2 \cdot \cos \angle MBN\]

Loại bỏ các thành phần chung, ta được:
\[x \cdot AB \cdot \cos \angle MAN - x^2 \cdot \cos \angle MAN = x \cdot MN \cdot \cos \angle MBN - AB \cdot x \cdot \cos \angle MBN + x^2 \cdot \cos \angle MBN\]

\[x \cdot AB \cdot \cos \angle MAN - x^2 \cdot \cos \angle MAN + AB \cdot x \cdot \cos \angle MBN - x^2 \cdot \cos \angle MBN = x \cdot MN \cdot \cos \angle MBN\]

\[AB \cdot x \cdot (\cos \angle MAN - \cos \angle MBN) = x \cdot MN \cdot \cos \angle MBN\]

\[AB \cdot (\cos \angle MAN - \cos \angle MBN) = MN \cdot \cos \angle MBN\]

\[AB \cdot \cos \angle MAN - AB \cdot \cos \angle MBN = MN \cdot \cos \angle MBN\]

\[AB \cdot \cos \angle MAN = MN \cdot \cos \angle MBN + AB \cdot \cos \angle MBN\]

\[AB \cdot \cos \angle MAN = MN \cdot \cos \angle MBN + AB \cdot \cos \angle MBN\]

\[AB \cdot \cos \angle MAN = MN + AB \cdot \cos \angle MBN\]

\[MN = AB \cdot (\cos \angle MAN - \cos \angle MBN)\]

\[MN = AB \cdot \cos (\angle MAN - \angle MBN)\]

Điều này chỉ xảy ra khi MN là tia phân giác của góc MBQ. Do đó, ta cần chọn M sao cho điều kiện trên thỏa mãn.